内積から三角形の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形の面積 $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ を使いたいが、与えられているのは内積(=$\cos$ 側の情報)。

そこで面積の公式を $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ の形に変形しておく。

これなら大きさと内積だけで面積が出る($\sin$ を経由しなくてよい)。

この公式は ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ から導かれる、と見通す。

① 公式に代入する。 $|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ より

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9\cdot 25-6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{225-36}=\frac{1}{2}\sqrt{189}$$

② 根号を整理する。 $189=9\cdot 21$ だから $\sqrt{189}=3\sqrt{21}$。

$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{21}=\frac{3\sqrt{21}}{2}$$

まとめ:内積が分かる三角形の面積は「$\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$」。$\sin$ を求めずに大きさと内積だけで出る。$\sqrt{225-36}=\sqrt{189}=3\sqrt{21}$ と根号を簡単にして $\frac{3\sqrt{21}}{2}$。

発展 — 一歩先へ。 面積公式 $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ は、$\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ から $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ を代入し、$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を入れて整理したもの。$\sin$ を表に出さずに済む。

根号の中 $|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ は、成分で書くと $(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2$(ラグランジュの恒等式)。だから成分の面積公式と、この内積の面積公式は、じつは同じもの。

内積(平行 $=$ そろい具合)と面積(垂直 $=$ 開き具合)は、$\cos$ と $\sin$ の関係で裏表。片方が分かればもう片方も決まる。

別解

別解 — $\cos \theta$ から $\sin \theta$ を出して面積公式へ(苦手な人向けの手順ルート)。 公式 $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ を覚えていなくても、$\sin \theta$ を求めれば基本の面積公式 $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ で計算できる。

まず内積からなす角の $\cos$ を出す。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{6}{3\cdot 5}=\frac{2}{5}.$$

$0°<\theta <180°$ なので $\sin \theta >0$。相互関係から

$$\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

面積の基本公式に入れて

$$S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{3\sqrt{21}}{2}.$$

$\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ に直接代入する本解と同じ $\frac{3\sqrt{21}}{2}$。$\cos \to \sin \to$ 面積、と $1$ 段ずつ進めば、公式を丸暗記していなくてもたどり着ける。$\sin \theta$ を出すとき符号を正にとるのだけ注意。