単位円上の3点の和が零ベクトルなら正三角形

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和の条件は、1本を孤立させると使える形になる: $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$。

両辺の大きさを2乗すると、$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$ と $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$ から $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{2}$ が出る。

対称性から、どの2本の内積も $-\frac{1}{2}$。すると辺の長さはすべて $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}{|}^2=2-2\left(-\frac{1}{2}\right)=3$ で等しい — 正三角形だ。

① 内積を求める。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$ の両辺の大きさを2乗:

$$1=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}{|}^2=2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$$

$$⟹\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{2}$$

② 対称性で3組とも。 条件は $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ について対称だから、同じ計算で

$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=-\frac{1}{2}$$

③ 辺の長さを計算する。

$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2=1+1-2\left(-\frac{1}{2}\right)=3$$

他の2辺も同様に $|\overrightarrow{\mathrm{BC}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{CA}}{|}^2=3$。3辺がすべて $\sqrt{3}$ で等しいから、三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形である(なす角はどの2本も $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ で $120^{\circ }$ — 3本が円を三等分している)。

まとめ: 「和が $\vec{0}$」は移項して2乗で内積に翻訳する — 対称な条件は1回計算すれば全組に写る。この事実は「重心が外心に一致する三角形は正三角形」の言い換えでもあり、円に内接する正三角形の対称性そのものだ。

発展 — 一歩先へ。 単位円上の $n$ 点で和が $\vec{0}$ になる配置は、$n=3$ では正三角形に限るが、$n=4$ では正方形以外にも無数にある(向かい合う2組の直径など)。「和が0=重心が中心」は必要条件としては常に働くが、正多角形を強制するのは $n=3$ の特権 — 3点の硬さ(自由度の少なさ)がこの問題の背景にある。

別解

重心と外心が一致する、と読む(計算のない証明)。 条件 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{0}$ は、割る3をすれば「三角形 ABC の重心が O」と言っている。

一方、O は円の中心だから、3頂点から等距離 — つまり O は外心でもある。

重心と外心が一致したとする。頂点 A から重心への中線は、BC の中点 M を通る。外心から BC の中点への線分は BC と垂直(垂直二等分線)。両者が同じ直線なのだから、中線 AM が BC の垂直二等分線 — よって $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$。同様に他の辺についても等しく、3辺がすべて等しい正三角形になる。

内積の計算(本解)は値($-\frac{1}{2}$、辺 $\sqrt{3}$)まで出せる定量の道、五心の一致(本ルート)は「なぜ正三角形しかありえないか」を一言で言い切る定性の道。「重心=外心 ⟺ 正三角形」は覚えておく価値のある特徴づけだ。