内分点の位置ベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内分点の公式には、間違えやすい"ねじれ"がある。

線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点は

$$\mathrm{P}=\frac{n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m+n}$$

注意してほしい。 $m$ が $\mathrm{A}$ ではなく、$\mathrm{B}$ に掛かっている。

比の重みが、反対側につくのだ。

なぜか。

$1:2$ に内分するとき、点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$ の近くにある($\mathrm{AP}$ が短いから)。

$\mathrm{A}$ に近いのだから、$\mathrm{A}$ の影響が強いはず。

だから、$\mathrm{A}$ には大きい重み($2$)がつく。

$$\mathrm{P}=\frac{2\mathrm{A}+1\mathrm{B}}{3}$$

計算しよう。

$$x=\frac{2\times 1+1\times 4}{3}=\frac{6}{3}=2,y=\frac{2\times 2+1\times 8}{3}=\frac{12}{3}=4$$

$$\mathrm{P}(2,4)$$

「近いほうに、大きい重み」 — この直感を持っておけば、公式のねじれで迷わない。

$1:2$ に内分するので $m=1$、$n=2$。$\frac{2\mathrm{A}+1\mathrm{B}}{3}$。

$$\mathrm{P}=\frac{2(1,2)+(4,8)}{3}=\frac{(2,4)+(4,8)}{3}=\frac{(6,12)}{3}=(2,4)$$

まとめ:内分点の公式は「遠いほうの点に大きい重み」。$1:2$ 内分($\mathrm{A}$ に近い)は $\mathrm{A}$ の重みが $2$、$\mathrm{B}$ の重みが $1$。分子の係数がたすきがけ(比の逆)になるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 内分点の公式には、物理的な意味がある。

重心(バランスの中心)である。

シーソーを思い浮かべよう。

位置 $\mathrm{A}$ に重さ $2$ のおもり、位置 $\mathrm{B}$ に重さ $1$ のおもりを置く。

釣り合う支点は、どこか。

てこの原理より、「重さ $\times$ 距離」が等しくなる点だ。

$$2\times \mathrm{AP}=1\times \mathrm{PB}$$

$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:2$$

この問題の内分点と、まったく同じ!

そして、支点の位置は

$$\mathrm{P}=\frac{2\mathrm{A}+1\mathrm{B}}{2+1}$$

内分点の公式そのものだ。

「重みつき平均」という見方。

$$\mathrm{P}=\frac{w_{\mathrm{A}}\mathrm{A}+w_{\mathrm{B}}\mathrm{B}}{w_{\mathrm{A}}+w_{\mathrm{B}}}$$

重い側に、支点が寄る。

$\mathrm{A}$ が重ければ($w_{\mathrm{A}}$ が大きければ)、支点は $\mathrm{A}$ に近づく。

だから、「$\mathrm{A}$ に近い点を作るには、$\mathrm{A}$ に大きい重みをつける」ことになる。

これが、公式のねじれの正体だ。

内分比 $1:2$ とは、「重さの比 $2:1$」を意味していた。

比が逆転するのは、「近い $=$ 重い」という関係があるからである。

この見方は、$3$ 点以上に拡張できる。

重心座標という。

$$\mathrm{P}=\frac{\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{B}+\gamma \mathrm{C}}{\alpha +\beta +\gamma }$$

$3$ 点に、それぞれ重さ $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ を置いたときの、釣り合いの点。

$\alpha =\beta =\gamma$ なら、三角形の重心になる。

そして、驚くべきことに、この重み $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ は、面積比と一致する。

$$\alpha :\beta :\gamma =△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}$$

点 $\mathrm{P}$ が、三角形を $3$ つに分割する。 その面積比が、そのまま重みになる。

この「重心座標」は、コンピュータグラフィックスで日常的に使われている。

三角形のポリゴンの内部を塗るとき、$3$ 頂点の色を、重心座標で混ぜ合わせる。

$$(\text{ピクセルの色})=\alpha C_{\mathrm{A}}+\beta C_{\mathrm{B}}+\gamma C_{\mathrm{C}}$$

なめらかなグラデーションが、これで実現する。

あなたが見ているゲームの画面は、$1$ 秒に何億回も、この計算を実行している。

内分点の公式という、教科書の $1$ 行。

その裏には、てこの原理があり、その先には、リアルタイムに描かれる $3$ D の世界がある。

別解

公式を使わず、「$\mathrm{A}$ から歩く」と考える。

$1:2$ に内分する、とはどういうことか。

線分 $\mathrm{AB}$ を、$3$ 等分する。 そして、$\mathrm{A}$ から $1$ 個分だけ進んだ点が $\mathrm{P}$ だ。

$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:2$$

つまり、$\mathrm{P}$ は「$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ へ向かって、全体の $\frac{1}{3}$ だけ進んだ点」である。

式で書く。

$$\mathrm{P}=\mathrm{A}+\frac{1}{3}\left(\mathrm{B}-\mathrm{A}\right)$$

$\mathrm{B}-\mathrm{A}$ は、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ へ向かうベクトルだ。

$$\mathrm{B}-\mathrm{A}=(4-1,8-2)=(3,6)$$

その $\frac{1}{3}$ だけ進む。

$$\frac{1}{3}(3,6)=(1,2)$$

$\mathrm{A}$ から、この分だけ動く。

$$\mathrm{P}=(1,2)+(1,2)=(2,4)$$

本解と同じ ✓

この方法の利点は、「重みが反対側につく」という、あの気持ち悪いねじれを避けられることだ。

やっていることは、ただの"歩き方"の指示。

「$\mathrm{A}$ からスタートして、$\mathrm{B}$ の方向へ、全体の $\frac{1}{3}$ 進む」

迷いようがない。

そして、この式を展開すると、公式が出てくる。

$$\mathrm{P}=\mathrm{A}+\frac{1}{3}(\mathrm{B}-\mathrm{A})=\frac{3\mathrm{A}-\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}=\frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$$

確かに、$\mathrm{A}$ に $2$、$\mathrm{B}$ に $1$ の重みがついている ✓

「歩く」という考え方から、公式のねじれが自然に説明できた。

この考え方は、いろいろな場面に拡張できる。

中点なら? $\frac{1}{2}$ だけ進む。

$$\mathrm{M}=\mathrm{A}+\frac{1}{2}(\mathrm{B}-\mathrm{A})=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}=(2.5,5)$$

$2:1$ に内分なら? $\frac{2}{3}$ 進む。

$$\mathrm{P}=\mathrm{A}+\frac{2}{3}(\mathrm{B}-\mathrm{A})=(3,6)$$

外分なら? $1$ より大きい割合、あるいは負の割合で進む。

$\mathrm{AB}$ を $2:1$ に外分する点は、$\mathrm{A}$ から $2$ 倍進む。

$$\mathrm{P}=\mathrm{A}+2(\mathrm{B}-\mathrm{A})=(7,14)$$

線分の外側に飛び出す。

「内分と外分」を別の公式として覚える必要はない。

進む割合が、$0$ から $1$ の間なら内分、外なら外分。 それだけの違いだ。

$1$ つの考え方で、すべてが統一される。