内部の点と三角形の面積比(重心座標)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{0}$ を、位置ベクトルに直して $\mathrm{P}$ を求める。

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 等を代入して整理すると、$\mathrm{P}=\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}+3\cdot \mathrm{C}}{6}$。$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を重み $1,2,3$ で平均した点(重心座標)だ。

この重み $1,2,3$ が、そのまま向かい合う三角形の面積比になる。$△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}=1:2:3$。

① $\mathrm{P}$ を重みつき平均に。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\vec{A}-\vec{P}$ 等で条件を書くと $$(\vec{A}-\vec{P})+2(\vec{B}-\vec{P})+3(\vec{C}-\vec{P})=\vec{0}⟹\vec{A}+2\vec{B}+3\vec{C}=6\vec{P}.$$ よって $\vec{P}=\frac{\vec{A}+2\vec{B}+3\vec{C}}{6}$。重み(重心座標)は $1:2:3$。

② 面積比に読み替える。 重心座標の重みは、対応する対頂の三角形の面積比に一致する。すなわち $\mathrm{A}$ の重み $1$ は $△\mathrm{PBC}$、$\mathrm{B}$ の重み $2$ は $△\mathrm{PCA}$、$\mathrm{C}$ の重み $3$ は $△\mathrm{PAB}$ に対応。

③ 結論。 $$△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}=1:2:3.$$

まとめ ベクトル条件から $\mathrm{P}$ を重み $1,2,3$ の重心座標で表すと、その重みがそのまま面積比 $1:2:3$。ベクトル(1次結合)と面積・重心座標の融合。$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ の係数が、その頂点の“向かいの三角形”の面積の重みになる。

発展 — 一歩先へ。 重み(重心座標)$(\alpha :\beta :\gamma )$ は、向かい合う三角形の面積比 $△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}$ にちょうど一致する。この「面積座標」は、有限要素法(構造物や流体を三角形メッシュに分けて計算する工学手法)で、三角形内部の値を補間する基本の道具として現役で使われている。

別解

別解 — 重みを1つずつ「てこの原理」で分ける(苦手な人向け)。 条件 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{0}$ を、重さのつり合いとして読む。$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ にそれぞれ重り $1,2,3$ を置くと、その重心(つり合いの点)が $\mathrm{P}$。

面積比を求めるには、まず $\mathrm{B},\mathrm{C}$ の重り $2,3$ を合成する。$\mathrm{B},\mathrm{C}$ を $3:2$ に内分する点 $\mathrm{D}$(重り $5$)に置き換えられる。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$(重り $1$)と $\mathrm{D}$(重り $5$)を $5:1$ に内分する点だ。

すると $△\mathrm{PBC}$ は、$△\mathrm{ABC}$ の $\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{6}$。$△\mathrm{PCA}$ と $△\mathrm{PAB}$ も同様に $\frac{2}{6},\frac{3}{6}$ を占め、比は $1:2:3$。

位置ベクトルで一気に(本解)出す代わりに、「重りを合成する」てこの見方だと、なぜ重み $1,2,3$ が面積比になるかが順を追って見える。