重心・外心・垂心は一直線(オイラー線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外心 $\mathrm{O}$ を始点にとるのがカギ。すると $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=R$(外接円の半径)がそろう。

$\mathrm{H}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ で定まる点が、実は垂心だと示す。$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ が辺 $\mathrm{BC}$ に垂直($\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ との内積が $0$)であることを、$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$ を使って確かめる。

$3$ 頂点で同様だから $\mathrm{H}$ は垂心。重心 $\mathrm{G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$ とくらべると $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ で、$\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ が一直線に並ぶ。

① $\mathrm{H}$ が垂心。 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおく。$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$。内積は $$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{OB}}{|}^2=R^2-R^2=0.$$ よって $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$。同様に $\mathrm{BH}\perp \mathrm{CA}$、$\mathrm{CH}\perp \mathrm{AB}$。$\mathrm{H}$ は垂心。

② 重心との関係。 重心は $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OH}}$。

③ 一直線と比。 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ だから $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ は同じ向き(一直線)。$\mathrm{OG}:\mathrm{OH}=1:3$ より $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$。この直線がオイラー線。

まとめ 外心を始点にすると $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=R$ が効き、$\mathrm{H}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ が垂心と分かる。$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ で $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ は一直線、$\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$。ベクトル(内積)と幾何(五心)の融合。

発展 — 一歩先へ。 オイラー線上には、重心 $\mathrm{G}$ が外心 $\mathrm{O}$ と垂心 $\mathrm{H}$ を $1:2$ に内分する形で乗る。さらに $\mathrm{OH}$ の中点は九点円の中心で、この円は $3$ 辺の中点・$3$ 垂足・各頂点と $\mathrm{H}$ の中点の $9$ 点を通る。三角形の主要な点が、たった1本の直線と1つの円に整然と並ぶ — 初等幾何の白眉である。

別解

別解 — 座標で確かめる(計算で押し切るルート)。 外心 $\mathrm{O}$ を原点にとり、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とおく($|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$)。

$\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ が垂心である($\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$)ことを内積で確かめる。

$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\vec{h}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-\vec{b})=(\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{c}-\vec{b})=|\vec{c}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=R^2-R^2=0.$$

$|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$ が効いて $0$ になった。$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CA}}$ も同じ。だから $\vec{h}$ は垂心。

重心 $\vec{g}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}\vec{h}$ より $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$、$\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ が一直線。「外接円の半径がそろう」という1点が、垂心の直交条件を生む仕掛けだ。