なす角の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なす角は、内積の定義式を $\cos \theta$ について解いた

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

で求める。部品は $3$ つ — 内積(成分の積の和)と、$2$ つの大きさ(三平方)。

計算すると $\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、よって $\theta =30^{\circ }$。$\cos$ の値から角を読む最後の一歩は、有名角の表(単位円)の出番だ。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+3}=2,|\vec{b}|=\sqrt{3+1}=2$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{2\times 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

③ 角を求める。 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =30^{\circ }$。

まとめ:なす角は「内積 ÷(大きさの積)= $\cos \theta$」。$\frac{\sqrt{3}}{2}$ は $30^{\circ }$。成分の内積 $2\sqrt{3}$ と大きさ $2,2$ を正確に。

発展 — 一歩先へ。 偏角の目で内積の公式を見直すと、$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\alpha -\beta )$($\alpha ,\beta$ は各偏角)— つまり内積は加法定理 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ の別の姿だ。成分の内積 $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ がまさに右辺に対応している。ベクトルと三角関数が同じ事実を共有している好例である。

なお $\cos \theta$ が有名角の値にならない場合は、$\theta$ は「$\cos \theta =\frac{3}{5}$ を満たす角」のように値のまま答える — 角そのものより $\cos$ の値が本体、という場面も多い。

別解

この $2$ 本は有名な向きのベクトルなので、それぞれの向き(偏角)を先に読むと、公式なしで角が出る。

$\vec{a}=(1,\sqrt{3})$ — 横 $1$ に対して縦 $\sqrt{3}$。これは $x$ 軸から $60^{\circ }$ の向きだ($\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$、$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の三角形の形)。

$\vec{b}=(\sqrt{3},1)$ — 横 $\sqrt{3}$ に縦 $1$、$x$ 軸から $30^{\circ }$ の向き。

なす角は向きの差

$$\theta =60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$$

内積の計算と一致する。

$2$ 本のベクトルが $y=x$ について鏡写し(成分の入れ替え)であることに気づけば、「$45^{\circ }$ の線をはさんで対称に $15^{\circ }$ ずつ」という配置まで見える。成分が有名角の形($1$ と $\sqrt{3}$、$1$ と $1$ など)のときは、偏角読みが最速で、内積公式の検算にもなる。