内積とベクトルの大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「内積の性質を用いて」— 大きさの $2$ 乗は内積で開ける、という展開公式の練習だ。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

$(x+y{)}^2$ の展開とそっくり — 内積が「掛け算のように」分配できるからだ。

部品を計算する。$|\vec{a}{|}^2=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=11$、$|\vec{b}{|}^2=25$。代入して $5+22+25=52$。

① 各量を求める。 $|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 3+2\cdot 4=11$、$|\vec{b}{|}^2=3^2+4^2=25$。

② 展開公式に代入する。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=5+2\times 11+25=5+22+25=52$$

(確認:$\vec{a}+\vec{b}=(4,6)$、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=16+36=52$。)

まとめ:$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ は「$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$」のベクトル版。$ab$ の代わりに内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が入る。$|{|}^2$ は自分自身との内積($\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$)なのがカギだ。

発展 — 一歩先へ。 展開公式を幾何で読むと余弦定理そのものだ。$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ で $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ を入れれば、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ — 数Iの定理が、内積の分配法則の $1$ 行に圧縮されている。

垂直($\vec{a}\cdot \vec{b}=0$)のときは中間項が消えて $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ — 三平方の定理。余弦定理も三平方も、内積の展開の特別な場合として一望できるのが、ベクトルという言語の強みである。

別解

成分が分かっているのだから、先に足してから測る直行ルートでも出せる。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4^2+6^2=52$$

$2$ 行で終わり — 展開公式より速い。

では、なぜ問題はわざわざ「内積の性質を用いて」と言うのか。成分が与えられない問題($|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ のとき $|\vec{a}+\vec{b}|$ は?)では、展開公式しか道がないからだ。今回はその公式を、成分ルートという「答え合わせ」付きで練習できる問題になっている。

$2$ つのルートが同じ $52$ を出すこと自体が、展開公式の正しさの数値実証。両方できる問題では両方やる — 公式への信頼と検算を同時に手に入れる、一石二鳥の使い方だ。