単位ベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単位ベクトルとは、大きさが $1$ のベクトルのことだ。

向きはそのまま、長さだけを $1$ にしたい。

どうすればいいか。

自分の大きさで、割ればいい。

$$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

なぜ、これで大きさが $1$ になるのか。

「$5$ cm の棒を、$5$ で割ると $1$ cm になる」 — それと同じ理屈だ。

まず、$|\vec{a}|$ を計算する。

$$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

そして、各成分を $5$ で割る。

$$\vec{e}=\frac{1}{5}(3,4)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$

確かめよう。

$$|\vec{e}|=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9+16}{25}}=\sqrt{1}=1✓$$

大きさが $1$ になった。

「ベクトルを自分の大きさで割ると、向きはそのまま、長さが $1$ になる」 — 単位ベクトルの作り方は、これだけである。

① 大きさを求める。 $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

② 大きさで割る。

$$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{(3,4)}{5}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$$

まとめ:単位ベクトルは「大きさ $1$、向きは同じ」。作り方は元のベクトルを自分の大きさで割るだけ。$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ の大きさは $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ で確かに $1$。

発展 — 一歩先へ。 「大きさで割って、$1$ にする」— この操作は、正規化と呼ばれ、数学と工学のあらゆる場面に現れる。

例 $1$: 統計の標準化。

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

平均を引いて中心を $0$ に、標準偏差で割って、ばらつきを $1$ にする。

「単位ベクトルを作る」のと、まったく同じ発想だ。

大きさ($\sigma$)で割ることで、単位のない世界へ移す。

例 $2$: 確率密度関数。

関数を確率として使うには、全体の積分が $1$ でなければならない。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$$

正規分布の式に、$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$ という係数がついているのは、この「正規化」のためだ。

ガウス積分の値 $\sqrt{2\pi }\sigma$ で割って、全体を $1$ にしている。

例 $3$: 量子力学の波動関数。

$$\int |\psi (x){|}^{2}dx=1$$

「粒子がどこかに存在する確率は $1$」という要請。

波動関数は、必ず正規化されている。

例 $4$: 単位の変換。

$1$ km は $1000$ m、$1$ 時間は $3600$ 秒。

「単位を $1$ に揃える」ことで、異なる量が比較可能になる。

すべてに共通する思想。

「基準を $1$ にすると、比較と計算が楽になる。」

そして、この思想の究極が — 単位系そのものだ。

物理学では、「自然単位系」というものを使うことがある。

$$c=1(\text{光速を }1\text{ とする})$$ $$\hslash =1(\text{プランク定数を }1\text{ とする})$$

すると、アインシュタインの式は

$$E=m{c}^2⟹E=m$$

エネルギーと質量が、同じものになる。

式から余計な定数が消え、本質だけが残る。

「基準を $1$ に選ぶ」という、ただそれだけの操作。

それが、式を美しくし、本質を露わにする。

$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ という、なんでもない単位ベクトル。

そこには、「基準を作る」という、科学の根源的な営みが宿っている。

別解

単位ベクトルの成分は、$\cos$ と $\sin$ である。

単位ベクトルの正体を、三角比で見てみよう。

大きさ $1$ のベクトルは、原点を中心とする単位円の上にある。

単位円上の点は、角 $\theta$ を使って、こう書けた。

$$(\cos \theta ,\sin \theta )$$

つまり、単位ベクトルは、必ずこの形をしている。

$$\vec{e}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$

この問題の答えと、照合しよう。

$$\vec{e}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=(0.6,0.8)$$

だから

$$\cos \theta =0.6,\sin \theta =0.8$$

確かに、${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =0.36+0.64=1$ ✓

この $\theta$ は、何度だろうか。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}$$

$\tan \theta =\frac{4}{3}$ となる角は、約 $53.13^{\circ }$。

($3$–$4$–$5$ の直角三角形の、いちばん小さくない鋭角だ。)

この見方の御利益。

単位ベクトルは、「向きだけの情報」を担っている。

大きさを捨てて、方向だけを取り出したもの — それが単位ベクトルだ。

そして、任意のベクトルは、こう分解できる。

$$\vec{a}=\underset{\text{大きさ}}{\underbrace{|\vec{a}|}}\times \underset{\text{向き}}{\underbrace{\vec{e}}}$$

$$(3,4)=5\times (0.6,0.8)$$

「大きさ $\times$ 向き」 — ベクトルの $2$ つの情報が、きれいに分離された。

この分解が、実用上とても便利だ。

例: 力の分解。

「$\vec{a}=(3,4)$ の方向に、大きさ $10$ の力をかけたい」

単位ベクトルを使えば、一瞬だ。

$$\vec{F}=10\times \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=(6,8)$$

例: ゲームのキャラクター移動。

「マウスの方向へ、一定の速さで進む」

マウス方向のベクトルを単位化し、速さを掛ける。

もし単位化を忘れると、マウスが遠いほど速く動いてしまう — よくあるバグだ。

例: 光の計算(CG)。

面の法線ベクトル(垂直な向き)は、必ず単位ベクトルにしておく。 そうすれば、光の当たり具合(内積)が、$-1$ から $1$ の範囲に収まって扱いやすい。

「向きの情報を、大きさの情報から切り離す」

このひと手間が、多くの計算を単純にする。

単位ベクトルは、方向を指し示す"矢印の標準形"なのだ。