内積の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内積は $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。大きさ $|\vec{a}|,|\vec{b}|$ は固定されている。

すると動くのは $\cos \theta$ だけ。内積の最大・最小は、$\cos \theta$ の範囲 $-1\le \cos \theta \le 1$ で決まる。

向きが同じ($\cos \theta =1$)で最大、逆向き($\cos \theta =-1$)で最小になる、と見通す。

① 内積を $\cos \theta$ で表す。 大きさは固定。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 3\times \cos \theta =6\cos \theta$$

② $\cos \theta$ の範囲で最大最小を求める。 $\cos \theta$ は $-1\leqq \cos \theta \leqq 1$。

• $\cos \theta =1$($\theta =0^{\circ }$、同じ向き):最大 $6\times 1=6$。
• $\cos \theta =-1$($\theta =180^{\circ }$、逆向き):最小 $6\times (-1)=-6$。

$$\text{最大値 }6,\text{最小値 }-6$$

まとめ:内積 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ で大きさが固定なら、$\cos \theta$ の増減が全て。同じ向き($\theta =0$)で最大 $|\vec{a}||\vec{b}|$、逆向き($\theta =180^{\circ }$)で最小 $-|\vec{a}||\vec{b}|$、垂直($\theta =90^{\circ }$)で $0$。内積は向きの一致度を表す。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\cos \theta$ は、$2$ つのベクトルの「向きのそろい具合」を $-1$ から $1$ で表す目盛り。$1$ で同じ向き、$0$ で垂直、$-1$ で逆向きだ。

だから大きさを固定した内積の最大・最小は、なす角という $1$ つの変数の問題になる。同じ向きで最大、逆向きで最小という自然な結論が出る。

$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$ という関係(コーシー・シュワルツの不等式)は、平面にかぎらず空間でも、数列や積分でも成り立つ、内積のもっとも基本的な性質だ。

別解

別解 — コーシー・シュワルツの不等式で範囲を出す(得意な人向けの視点)。 どんなベクトルでも、内積の絶対値は大きさの積を超えない。これをコーシー・シュワルツの不等式という。

$$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|=2\cdot 3=6.$$

これを開くと $-6\le \vec{a}\cdot \vec{b}\le 6$。だから内積は $6$ より大きくも、$-6$ より小さくもなれない。

等号が成り立つのは $\vec{a},\vec{b}$ が平行のとき。同じ向きなら $\vec{a}\cdot \vec{b}=6$(最大)、逆向きなら $\vec{a}\cdot \vec{b}=-6$(最小)。

$\cos \theta$ の範囲で考える本解と同じ、最大 $6$・最小 $-6$。内積の絶対値は大きさの積以下、という一本の不等式からも、上限と下限が同時に読み取れる。