ベクトルの大きさ(負の成分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 成分に負の数が入っている。だが、何も変わらない。

$$|\vec{a}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}$$

$2$ 乗すれば、符号は消える。

$$(-3{)}^2=9(\text{マイナス}\times \text{マイナス}=\text{プラス})$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

答えは、$(3,4)$ のときと同じ $5$ だ。

これは、当然のことである。

大きさとは、矢印の長さだ。

長さに、向きは関係ない。 左を向いていようが、右を向いていようが、$5$ cm の矢印は $5$ cm。

$$|\vec{a}|\geqq 0(\text{必ず }0\text{ 以上})$$

大きさが負になることは、絶対にない。

「$2$ 乗で符号が消えるから、大きさは成分の正負によらず正」 — 計算する前から、答えが正であることは分かっている。

$$|\vec{a}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

まとめ:大きさは成分を $2$ 乗して足すので、負の符号は消える。$(-3,4)$ も $(3,4)$ も大きさは同じ $5$(向きが違うだけ)。$(-3{)}^2=9$(マイナスの $2$ 乗は正)に注意。

発展 — 一歩先へ。 平面ベクトルの基本が、これで出そろった。全体を見渡しておこう。

ベクトルには、$2$ つの顔がある。

① 幾何の顔 — 矢印。向きと大きさをもつ量。

② 代数の顔 — 数の組 $(a_1,a_2)$。成分ごとに計算する。

この $2$ つを、自由に行き来できることが、ベクトルを使いこなすということだ。

幾何 → 代数(計算に持ち込む)

• 「垂直」→ 内積 $=0$
• 「平行」→ 実数倍、たすきがけ $=0$
• 「なす角」→ $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
• 「長さ」→ $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
• 「分点・重心」→ 重みつき平均

代数 → 幾何(意味を読む)

• 内積が正 → 鋭角(同じ方向を向いている)
• 内積が負 → 鈍角(逆を向いている)
• 内積が $0$ → 垂直
• たすきがけ → 平行四辺形の面積

「図形の問題を、計算に翻訳する。計算の結果を、図形で読む。」

この往復が、ベクトルの真骨頂である。

初等幾何では、補助線をひらめかないと解けない問題があった。

「なぜ、そこに補助線を引くのか?」 — センスの問題だった。

ベクトルなら、機械的に計算するだけで答えが出る。

オイラー線の証明を思い出してほしい。 初等幾何なら何ページもかかる定理が、内積の計算 $5$ 行で片づいた。

デカルトが座標を発明し($1637$ 年)、幾何が代数になった。

「図形を、数式で扱えるようにする」

この発想が、数学を根底から変えた。

そして、ベクトルはその発想の、もっとも洗練された形である。

座標系すら不要になる。 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ という式は、座標軸をどこにとっても成り立つ。

「座標に依存しない代数」 — これが、物理法則を書くのに最適な言語になった。

次は、空間ベクトル($3$ 次元)へ進む。

驚くことに、公式はほとんど変わらない。 成分が $1$ つ増えるだけだ。

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$ $$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

平面で身につけた武器が、そのまま空間で通用する。

そして、その先には $4$ 次元、$100$ 次元、無限次元の世界が待っている。

$|(-3,4)|=5$ という、たった $1$ 行の計算。

それは、あらゆる次元に通用する、普遍的な"長さ"の測り方なのだ。

別解

「大きさは向きによらない」を、対称性で確かめる。

$4$ つのベクトルを並べてみよう。

$$(3,4),(-3,4),(3,-4),(-3,-4)$$

符号のすべての組み合わせだ。

それぞれの大きさを計算する。

$$|(3,4)|=\sqrt{9+16}=5$$ $$|(-3,4)|=\sqrt{9+16}=5$$ $$|(3,-4)|=\sqrt{9+16}=5$$ $$|(-3,-4)|=\sqrt{9+16}=5$$

全部 $5$!

$4$ つのベクトルは、それぞれ第 $1$、第 $2$、第 $3$、第 $4$ 象限を向いている。

向きはバラバラ。だが、長さはすべて同じ。

図で見れば、当たり前だ。

$4$ つの矢印の先端は、原点を中心とする半径 $5$ の円の上に、対称に並んでいる。

「同じ長さのベクトルは、円の上に並ぶ。」

この見方が、大事な性質を教えてくれる。

性質 $1$: $|-\vec{a}|=|\vec{a}|$

逆向きにしても、長さは変わらない。

性質 $2$: $|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$

$k$ 倍すると、長さは $|k|$ 倍($k$ の絶対値!)。

$k=-2$ なら、向きは逆になるが、長さは $2$ 倍。

$$|-2(3,4)|=|(-6,-8)|=\sqrt{36+64}=10=2\times 5✓$$

$|k|$ と書いて、$k$ ではないところが要点だ。 長さは負にならないから。

この「大きさは向きによらない」という性質。

言い換えると、「回転しても、大きさは変わらない」ということでもある。

ベクトルを、原点のまわりに $30^{\circ }$ 回転させても、$180^{\circ }$ 回転させても、長さは $5$ のまま。

これを回転不変性という。

そして、この性質こそが、$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ という測り方の"特別さ"を保証している。

(マンハッタン距離 $|a_1|+|a_2|$ は、回転すると変わってしまう。$(3,4)$ なら $7$ だが、$45^{\circ }$ 回転させると $5\sqrt{2}\approx 7.07$ になる。)

「世界に、特別な方向はない。」

東を向いていても、北を向いていても、物理法則は同じ。

その要請に応えられる長さの測り方が、$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ — ユークリッドの距離なのだ。

負の成分が出てきても、慌てる必要はない。

$2$ 乗が、すべての符号を洗い流してくれる。