三角形の面積(成分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つのベクトルの成分が分かっているので、三角形の面積は成分公式 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ に代入するだけ。

この公式は「$2$ ベクトルが作る平行四辺形の面積の半分」。

内積となす角を経由するより速い。

$x_1{y}_2-x_2{y}_1$(たすき掛けの差)の計算を正確に、と見通す。

① 公式に代入する。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,4)$ より

$$x_1{y}_2-x_2{y}_1=3\cdot 4-1\cdot 1=12-1=11$$

② 面積を求める。

$$S=\frac{1}{2}|11|=\frac{11}{2}$$

まとめ:成分が分かる三角形の面積は「$\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$」。$x_1{y}_2$ と $x_2{y}_1$ の差の絶対値の半分。$\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ でも同じ値になるが、成分ならこの公式が最短。

発展 — 一歩先へ。 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ は、$2$ ベクトルを並べた行列の行列式で、符号つきの平行四辺形の面積。その絶対値の半分が三角形の面積になる。符号は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ への回り方(反時計回りが正)を表す。

じつはこの面積は $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ とも書ける。成分でもこの根号でも同じ値になるのは、ラグランジュの恒等式 $(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ が成り立つから。

「行列式(成分)」と「大きさと内積(長さと角)」——同じ面積を、代数と幾何の両側から書ける。ベクトルは、その $2$ つを結ぶ。

別解

別解 — 大きさと内積の公式で確かめる(得意な人向けの視点)。 成分の公式とは別に、$\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ でも同じ面積が出る。両方で計算すれば検算になる。

成分から大きさと内積を出す。$|\vec{a}{|}^2=3^2+1^2=10$、$|\vec{b}{|}^2=1^2+4^2=17$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 1+1\cdot 4=7$。

面積の公式に入れると

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{10\cdot 17-7^2}=\frac{1}{2}\sqrt{170-49}=\frac{1}{2}\sqrt{121}=\frac{11}{2}.$$

たすき掛けの $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|3\cdot 4-1\cdot 1|=\frac{11}{2}$ と一致する。

成分公式を使う本解と同じ $\frac{11}{2}$。根号の中がちょうど平方数 $121$ になるのは、ラグランジュの恒等式で $\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=11$ が保証されているから。$2$ 通りで一致すれば安心だ。