中線定理をベクトルで示す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中点 $\mathrm{M}$ を中継点にすると、$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\vec{0}$(中点の性質)が効く。

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ と分けて、それぞれ2乗する。

足し合わせると、交差項 $2\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}})$ が $\vec{0}$ で消える。残るのは $2|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2+2|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$ — これが中線定理だ。

① 中点を中継して分ける。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$。

② $2$ 乗して足す。 $${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=|\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}{|}^2.$$ 展開すると $$=2|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}})+|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{MB}}{|}^2.$$ ③ 交差項を消す。 $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\vec{0}$ で中央の項は $0$。また $|\overrightarrow{\mathrm{MB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{MA}}|=\mathrm{AM}$ だから $|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{MB}}{|}^2=2{\mathrm{AM}}^2$。よって $${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2.$$

まとめ 中点 $\mathrm{M}$ を中継すると $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\vec{0}$ で交差項が消え、中線定理 ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2$。ベクトル(内積)と幾何(中点)の融合。座標計算より一般的で見通しがよい。

発展 — 一歩先へ。 中線定理は「平行四辺形の対角線の2乗の和 $=$ 4辺の2乗の和」の言い換えでもある($\mathrm{A},\mathrm{B}$ と $\mathrm{P}$、第4点で平行四辺形を作る)。ベクトルで書くと $|\vec{u}+\vec{v}{|}^2+|\vec{u}-\vec{v}{|}^2=2|\vec{u}{|}^2+2|\vec{v}{|}^2$(中線定理/平行四辺形則)。この等式が成り立つことが、実は「内積が定義できる空間」の特徴づけになっている。

別解

別解 — 座標を置いて成分計算で示す(計算で確かめたい人向け)。 中点 $\mathrm{M}$ を原点にとると、$\mathrm{A}=\vec{u}$、$\mathrm{B}=-\vec{u}$(中点だから対称)。任意の点 $\mathrm{P}=\vec{p}$ とおく。

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=|\vec{p}-\vec{u}{|}^2+|\vec{p}+\vec{u}{|}^2.$$

展開すると $|\vec{p}{|}^2-2\vec{p}\cdot \vec{u}+|\vec{u}{|}^2+|\vec{p}{|}^2+2\vec{p}\cdot \vec{u}+|\vec{u}{|}^2$。交差項 $\pm 2\vec{p}\cdot \vec{u}$ が消えて

$$=2|\vec{p}{|}^2+2|\vec{u}{|}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2.$$

($\mathrm{M}$ が原点なので $\mathrm{PM}=|\vec{p}|$、$\mathrm{AM}=|\vec{u}|$。)中線定理が出た。

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\vec{0}$ を使う本解と本質は同じ($\vec{u}$ と $-\vec{u}$ が対称)。中点を原点に選ぶと、対称性で交差項が自動的に消えるのが気持ちよい。