数学C / 平面ベクトル

三角形の面積(ベクトル)

★★★ 応用面積

問題

$3$ 点 $A (1, 1)$ 、 $B (4, 2)$ 、 $C (2, 5)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。

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$2$ 辺のベクトルを作って、成分から面積を出す式へ。座標のまま扱うより、 $1$ つの頂点を基準にしたベクトルに直すのがポイント。

解答・解説

$AB$ 、 $AC$ を求め、面積 $= \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ を使う。 $A$ を基準に $2$ 辺のベクトルを作る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形の面積は「 $2$ 辺のベクトルのたすき掛けの半分」 $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ で出せる。

ただしこの公式は、 $2$ 辺が同じ点から出ているときの形。原点は頂点でないので、まず $A$ を基準点にする。

$A$ から $B, C$ へのベクトルを $2$ 辺として作れば、あとは公式どおりだと見通す。

公式三角形の面積

= \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

(

AB = (x_{1}, y_{1})

、

AC = (x_{2}, y_{2})

)

① $2$ 辺のベクトルを求める。

$AB = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1), AC = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4)$

② 面積公式にあてはめる。

$面積 = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣ = \frac{1}{2} ∣3 \cdot 4 - 1 \cdot 1∣ = \frac{1}{2} ∣12 - 1∣ = \frac{11}{2}$

3点 A(1,1), B(4,2), C(2,5) の三角形の面積=11/2

まとめ:座標三角形の面積は、まず $1$ つの頂点( $A$ )から $2$ 辺のベクトルを作り、 $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ 。原点でなくても、辺のベクトルの成分を使えばよい。 $\frac{11}{2}$ 。

発展 — 一歩先へ。 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ は、 $2$ 辺のベクトルを並べたときの符号つき面積(向きつきの平行四辺形の面積)。反時計回りに測れば正、時計回りなら負になる。その絶対値の半分が三角形の面積だ。

この量は、頂点の座標を順に掛けて足し引きする「靴ひも(シューレース)公式」の一部でもある。三角形にかぎらず、多角形の面積を座標だけで計算できる。

符号まで見れば、 $3$ 点が反時計回りか時計回りか、あるいは一直線上か( $= 0$ )まで判定できる。面積 $0$ は $3$ 点が共線という意味だ。

答

$\frac{11}{2}$

別解 — 囲む長方形から余分を引く(苦手な人向けの図形ルート)。 $3$ 点を囲む、辺が縦横の長方形をかいて、そこから外側の直角三角形を引く。

$x$ は $1$ から $4$ 、 $y$ は $1$ から $5$ 。だから横 $3$ 、縦 $4$ 、面積 $12$ の長方形で $3$ 点を囲める。

三角形の外側にできる直角三角形は $3$ つ。それぞれの面積は

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3, \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2.$

長方形からこれらを引くと

$12 - (\frac{3}{2} + 3 + 2) = 12 - \frac{13}{2} = \frac{11}{2} .$

たすき掛けの公式を使う本解と同じ $\frac{11}{2}$ 。公式を忘れても、長方形と直角三角形の引き算で面積が出せる。