|a+tb|の最小と垂直

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 大きさの最小は「$2$ 乗して $t$ の $2$ 次関数にし、平方完成」。

$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ を展開すると、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ と大きさが係数に現れる $t$ の $2$ 次式になる。

平方完成で、最小の $t$ と最小値が出る。

さらに、最小のときの $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{b}$ の内積を調べると $0$(垂直)になる。これは「点と直線の距離は垂線で最短」という幾何の反映、と見通す。

① $2$ 乗して展開する。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t(\vec{a}\cdot \vec{b})+t^2|\vec{b}{|}^2=4+2t+t^2$$

② 平方完成する。

$$t^2+2t+4=(t+1{)}^2+3$$

最小は $t=-1$ のときで、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=3$、よって $|\vec{a}+t\vec{b}|=\sqrt{3}$。

③ 垂直の確認。 $t=-1$ のとき

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=1+(-1)\cdot 1=0$$

よって $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ に垂直。

まとめ:$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小は「$2$ 乗して $t$ の $2$ 次関数 → 平方完成」。$(t+1{)}^2+3$ より最小 $\sqrt{3}$($t=-1$)。最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$ になるのは、$\vec{b}$ 方向の直線への垂線が最短距離を与える、という幾何的意味の表れ。

発展 — 一歩先へ。 $\vec{a}+t\vec{b}$($t$ が動く)は、点 $\vec{a}$ の先端から $\vec{b}$ 方向に伸びる直線上の点。原点からその直線までの最短距離が、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値だ。最短は垂線のときだから、最小で $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$ になる。

このとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は、$\vec{a}$ から「$\vec{b}$ 方向の成分」を取り除いた残り(=$\vec{b}$ に垂直な成分)。平方完成の頂点 $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ は、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ に射影する式そのもの。

最小値 $\sqrt{3}$ は、$|\vec{a}|\sin \theta =2\sin 60°=\sqrt{3}$(なす角 $\theta =60°$)とも一致する。平方完成という代数と、垂線・射影という幾何が、ぴたりと重なる。

別解

別解 — 垂線の足(射影)として最短を出す(得意な人向けの視点)。 平方完成のかわりに、幾何の「最短は垂線」を使えば、最小値がほぼ暗算で出る。

$\vec{a}+t\vec{b}$ は、点 $\vec{a}$ を通り $\vec{b}$ 方向に伸びる直線上の点。原点からこの直線への最短距離が、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値。最短は垂線のときで、その長さは $\vec{a}$ の「$\vec{b}$ に垂直な成分」の大きさ、すなわち $|\vec{a}|\sin \theta$。

なす角 $\theta$ は、$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$ より $\theta =60°$。だから

$$\text{最小値}=|\vec{a}|\sin \theta =2\sin 60°=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

最小を与える $t$ は、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ に射影する式から $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}=-\frac{1}{1}=-1$。このとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$。

$2$ 乗して平方完成する本解と同じ $\sqrt{3}$($t=-1$)。「原点から直線への最短は垂線」と見れば、最小値が $|\vec{a}|\sin \theta$ という直角三角形の高さになる。代数の平方完成と、幾何の垂線は同じことを言っている。