外心を1次結合で表す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外心の定義は「3頂点から等距離」。だが $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ を2乗して展開するより、幾何で一段よい言い換えがある。

外心は辺 OA の垂直二等分線の上にある。これは「$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の $\vec{a}$ 方向への正射影が、ちょうど $\vec{a}$ の半分」ということ。式にすると

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$$

辺 OB についても同様で、条件が内積の1次方程式2本に翻訳される。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を入れれば、$s,t$ の連立になる。

① 条件を導く。 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ の両辺を2乗:

$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{a}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}+|\vec{a}{|}^2$$

より $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}=2$。同様に $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{b}=\frac{9}{2}$。

② 連立を立てる。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を代入し、$|\vec{a}{|}^2=4,|\vec{b}{|}^2=9,\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ を使うと

$$s|\vec{a}{|}^2+t\vec{a}\cdot \vec{b}=2⟺4s+3t=2$$

$$s\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=\frac{9}{2}⟺3s+9t=\frac{9}{2}⟺s+3t=\frac{3}{2}$$

③ 解く。 2式の差: $3s=\frac{1}{2}$ より $s=\frac{1}{6}$。代入して $3t=\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}$、$t=\frac{4}{9}$。

$$s=\frac{1}{6},t=\frac{4}{9}$$

まとめ: 五心のベクトル表示では、定義(等距離)をそのまま使うより「垂直二等分線 ⟺ 正射影が半分 ⟺ 内積 $=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$」と1次の条件に翻訳するのが決定打。重心(平均)・内心(辺の重み)と並べて、外心は「内積の連立」— 求め方の型として整理しておきたい。

発展 — 一歩先へ。 射影条件 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{b}{|}^2}{2}$ は、どんな三角形でも通用する外心の連立の型だ。同じ流儀で、垂心は $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$ 型、内心は角の二等分の重みつき平均 — 五心がすべて「内積・1次結合の方程式」に翻訳できる。ベクトルは五心の統一言語になっている。

別解

座標に落とす(機械で確実に)。 $\vec{a}=(2,0)$ と置いてよい。$\vec{b}=(b_1,b_2)$ は $\vec{a}\cdot \vec{b}=2b_1=3$ と $|\vec{b}|=3$ から

$$\vec{b}=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$

外心は垂直二等分線の交点。辺 OA の垂直二等分線は $x=1$。辺 OB については $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{b}{|}^2$ を展開して $2\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$、成分で $3x+3\sqrt{3}y=9$。$x=1$ を入れて $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$、つまり $\mathrm{P}\left(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$。

最後に $\mathrm{P}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を成分で解く: 第2成分から $t\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ で $t=\frac{4}{9}$、第1成分から $2s+\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{9}=1$ で $s=\frac{1}{6}$。

内積の連立(本解)は座標を選ばない普遍の道、座標化は「具体的な数で手を動かしたい」ときの確実な道。座標を $\vec{a}$ に合わせて張る自由は、いつでも使ってよい。