内積からなす角の条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 成分は与えられていない — 大きさの情報だけで内積を求める問題だ。使える橋は、大きさの $2$ 乗の展開公式。

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

左辺は $3$、右辺は $4-2\vec{a}\cdot \vec{b}+1$。方程式として解いて

$$3=5-2\vec{a}\cdot \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=1$$

「$|\cdot |$ は $2$ 乗して開くと内積が顔を出す」— この型の合言葉である。

① 展開公式に値を代入する。 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$、$|\vec{a}{|}^2=4$、$|\vec{b}{|}^2=1$。

$$3=4-2\vec{a}\cdot \vec{b}+1$$

② $\vec{a}\cdot \vec{b}$ について解く。

$$3=5-2\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow 2\vec{a}\cdot \vec{b}=2\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=1$$

まとめ:大きさの情報から内積を出すには、$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ の展開公式を使う。$|{|}^2$ を展開すると内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が現れるので、それについて解く。数の $2$ 乗の展開と同じ形だ。

発展 — 一歩先へ。 同じ部品で $|\vec{a}+\vec{b}|$ も出せる: $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=5+2\cdot 1=7$。$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=7+3=10=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$ — 平行四辺形の「対角線の $2$ 乗の和 $=$ 辺の $2$ 乗の和の $2$ 倍」(中線定理の親戚)が成り立っている。

この問題の型(大きさ $3$ つ → 内積 → なす角や別の大きさ)は、ベクトルの計算問題の最頻出パターン。成分が「ない」ことで、かえって内積という道具の純粋な力が試される — 成分は座標の選び方に依存するが、内積・大きさ・角は図形そのものの量だからだ。

別解

$3$ つの長さ $|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=1$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ を、三角形の $3$ 辺として絵に描くと、この問題の正体が見える。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を同じ点から生やすと、$\vec{a}-\vec{b}$ は $2$ つの先端を結ぶ辺 — つまり辺の長さ $2,1,\sqrt{3}$ の三角形ができる。

この $3$ 辺、よく見ると

$$1^2+(\sqrt{3}{)}^2=1+3=4=2^2$$

直角三角形だ($30°$–$60°$–$90°$ の有名な形)。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は、斜辺 $2$ と辺 $1$ に挟まれた角で $60^{\circ }$。内積の定義から

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1$$

展開公式と同じ答えだ。

展開公式は余弦定理のベクトル版だから、$2$ つのルートが一致するのは当然 — だが「$3$ つの長さが出たら三角形を描いてみる」と、角度・直角・形の情報がおまけで手に入る。図が式の検算になり、式が図の裏付けになる。