ベクトルの分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の合成で表せ」— 未知の係数 $s,t$ を置いて、成分を比較する。

$$s(2,1)+t(1,3)=(4,5)⟺\{\begin{array}{l}2s+t=4\\ s+3t=5\end{array}$$

$x$ 成分と $y$ 成分で式が $2$ 本、未知数も $2$ つ — 連立方程式を解けば $s=\frac{7}{5}$、$t=\frac{6}{5}$。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行でない(一次独立)から、この分解は必ずただ $1$ 通りに決まる。

① 成分で書く。

$$s\vec{a}+t\vec{b}=s(2,1)+t(1,3)=(2s+t,s+3t)$$

② $\vec{c}=(4,5)$ と成分を比べる。

$$\{\begin{array}{l}2s+t=4\\ s+3t=5\end{array}$$

③ 連立方程式を解く。 上の式から $t=4-2s$。下に代入:$s+3(4-2s)=5$、$s+12-6s=5$、$-5s=-7$、$s=\frac{7}{5}$。$t=4-\frac{14}{5}=\frac{6}{5}$。

$$\vec{c}=\frac{7}{5}\vec{a}+\frac{6}{5}\vec{b}$$

まとめ:$1$ 次結合 $s\vec{a}+t\vec{b}$ で表すのは「成分を比べて連立方程式」。$x$ 成分・$y$ 成分の $2$ 式から $s,t$ を求める。$\vec{a},\vec{b}$ が平行でなければ必ず解ける。

発展 — 一歩先へ。 「平行でない $2$ 本があれば、平面のどんなベクトルもただ $1$ 通りに分解できる」— この事実は座標の考え方そのものだ。ふだんの $(x,y)$ 座標は $\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(0,1)$ を選んだ特別な場合で、今回の問題は「基底を取り替えた座標」を計算している(斜交座標)。

分解の一意性は、ベクトル方程式の係数比較(「$s\vec{a}+t\vec{b}=s^{\prime }\vec{a}+t^{\prime }\vec{b}$ なら $s=s^{\prime },t=t^{\prime }$」)の根拠として、位置ベクトルの図形問題全般を支える。この単元の後半で最も頻繁に使う論法の土台が、この計算問題である。

別解

連立を解かずに、面積(クロス積)で係数を直読みする方法がある。

$2$ つのベクトル $\vec{u}=(u_1,u_2)$、$\vec{v}=(v_1,v_2)$ から作る量 $u_1{v}_2-u_2{v}_1$(クロス積)は、$2$ 本の張る平行四辺形の符号付き面積。この量は「同じベクトルどうしなら $0$」という性質を持つ。

$\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の両辺と $\vec{b}$ のクロス積をとると、$\vec{b}$ どうしの項が消えて

$$s=\frac{c_1{b}_2-c_2{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}=\frac{4\cdot 3-5\cdot 1}{2\cdot 3-1\cdot 1}=\frac{7}{5}$$

同様に $\vec{a}$ とのクロス積で

$$t=\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}=\frac{2\cdot 5-1\cdot 4}{5}=\frac{6}{5}$$

割り算 $2$ 回で終わり。分母が共通($\vec{a},\vec{b}$ の面積 $=5$)なのも計算を軽くする。

「消したい相手とクロス積をとる」— 連立方程式の加減法を、ベクトルの言葉で一撃にした形だ(大学ではクラメルの公式と呼ばれる)。分母 $=0$ は $\vec{a}\parallel \vec{b}$、つまり分解できない場合 — 一次独立の条件が分母の形で顔を出している。