三角形の面積(座標)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 頂点の $1$ つ($\mathrm{A}$)が原点 — 面積公式の出番として最高の配置だ。

$$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$$

($\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(x_1,y_1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(x_2,y_2)$。)$\mathrm{A}$ が原点なので $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,2)$ がそのまま使える。

$$S=\frac{1}{2}|3\cdot 2-1\cdot 1|=\frac{5}{2}$$

「たすき掛けの差の半分」— 座標三角形の面積の最速公式である。

① $2$ 辺のベクトルを出す。 $\mathrm{A}$ が原点なので $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,2)$。

② 面積公式にあてはめる。

$$\text{面積}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|3\cdot 2-1\cdot 1|=\frac{1}{2}|6-1|=\frac{5}{2}$$

まとめ:座標が分かる三角形の面積は $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$(たすきがけの差の絶対値の半分)。$2$ 辺のベクトルの成分を入れるだけ。絶対値を忘れずに(面積は正)。

発展 — 一歩先へ。 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ という「たすき掛けの差」は、分解の問題(クラメルの分母)にも、平行判定($=0$ が平行)にも現れた、この単元の裏の主役だ。正体は「$2$ 本のベクトルが張る平行四辺形の符号付き面積」— 面積・平行・分解可能性が、すべてこの $1$ つの量で語れる。

頂点が格子点の多角形なら、ピックの定理(面積 $=$ 内部の格子点 $+$ 辺上の格子点 $÷2-1$)という数え上げの別業もある。今回の三角形で試すと、内部 $2$ 点・辺上 $3$ 点で $2+\frac{3}{2}-1=\frac{5}{2}$ — 三たび同じ答えに合流する。

別解

公式を忘れても、方眼紙の発想で面積は出せる — 囲んで、引く。

$3$ 点を全部含む最小の長方形は、$(0,0)$ から $(3,2)$ まで — 面積 $3\times 2=6$。

長方形から、三角形の外側にある直角三角形 $3$ つを切り落とす。

• $\mathrm{A}(0,0)$–$\mathrm{B}(3,1)$ の下側: 底辺 $3$・高さ $1$ で面積 $\frac{3}{2}$
• $\mathrm{A}(0,0)$–$\mathrm{C}(1,2)$ の左側: 底辺 $1$・高さ $2$ で面積 $1$
• $\mathrm{B}(3,1)$–$\mathrm{C}(1,2)$ の右上: 底辺 $2$・高さ $1$ で面積 $1$

$$S=6-\frac{3}{2}-1-1=\frac{5}{2}$$

公式と一致した。

実は公式 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ は、この「長方形から直角三角形を引く」操作を文字で一般化したものにすぎない。斜めの図形の面積を軸に平行な部品で測る — 方眼紙の知恵が公式の正体である。