三角形の重心

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形の重心は、$3$ 頂点の平均だ。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

座標を、そのまま平均するだけ。

$$x=\frac{1+4+1}{3}=\frac{6}{3}=2$$

$$y=\frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2$$

$$\mathrm{G}(2,2)$$

内分点の公式のような"ねじれ"はない。 ただの平均である。

なぜ、平均でよいのか。

重心とは、$3$ 頂点に同じ重さのおもりを置いたときの、釣り合いの点だ。

重さが等しいのだから、重みも等しい。 つまり、単純平均になる。

「等しい重み $\Rightarrow$ 単純平均」

内分点(重みが違う)と、重心(重みが同じ)。 その違いを意識しておこう。

$$\mathrm{G}=\frac{(1,1)+(4,2)+(1,3)}{3}=\frac{(6,6)}{3}=(2,2)$$

まとめ:重心は「$3$ 頂点の座標の平均」。$x$ 座標の平均、$y$ 座標の平均をとるだけ。$\frac{1+4+1}{3}=2$、$\frac{1+2+3}{3}=2$。ベクトルで書くと $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ と美しい。

発展 — 一歩先へ。 三角形には、重心のほかにも「中心」がある。それも $4$ つ以上。

五心と呼ばれる。

① 重心 $\mathrm{G}$ — $3$ 中線の交点。$3$ 頂点の平均。

② 外心 $\mathrm{O}$ — $3$ 辺の垂直二等分線の交点。外接円の中心($3$ 頂点から等距離)。

③ 内心 $\mathrm{I}$ — $3$ 角の二等分線の交点。内接円の中心($3$ 辺から等距離)。

④ 垂心 $\mathrm{H}$ — $3$ 頂点から対辺に下ろした垂線の交点。

⑤ 傍心 — $3$ 個ある(外接する円の中心)。

どれも「$3$ 本の直線が $1$ 点で交わる」という、非自明な事実に支えられている。

そして、驚くべき定理がある。

オイラー線。

「重心 $\mathrm{G}$、外心 $\mathrm{O}$、垂心 $\mathrm{H}$ は、$1$ 直線上に並ぶ。」

しかも、その位置関係は完全に決まっている。

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$$

つまり、$\mathrm{G}$ は $\mathrm{OH}$ を $2:1$ に内分する。

どんな三角形でも、必ずこうなる。

この定理は、ベクトルで簡単に証明できる。

外心 $\mathrm{O}$ を原点にとる。 すると、$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$(外接円の半径)。

ここで、こんな点 $\mathrm{H}$ を定義する。

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

この $\mathrm{H}$ が、垂心であることを示せばよい。

$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$

内積をとる。

$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{OB}}{|}^2=0$$

($2$ つとも外接円の半径だから、等しい。)

内積が $0$ — つまり $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$ ✓

$\mathrm{H}$ から $\mathrm{BC}$ への垂線が引けた。 同様に他の $2$ 辺についても言えるので、$\mathrm{H}$ は垂心である。

そして、重心は

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OH}}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}■$$

オイラー線の証明が、$5$ 行で終わった。

初等幾何でやろうとすると、何ページもかかる定理だ。

ベクトルと内積という道具が、幾何の難問を代数の計算に変えてしまう。

「$3$ 頂点の平均」という素朴な重心の定義。

そこから、$2500$ 年の幾何学の精華が、するすると引き出せる。

別解

「重心は中線を $2:1$ に内分する」という定理から求める。

重心の、もう $1$ つの定義を思い出そう。

中線とは、頂点と対辺の中点を結ぶ線分。

$3$ 本の中線は、$1$ 点で交わる。 その交点が重心だ。

そして、重心は各中線を、頂点から $2:1$ に内分する。

この定理で、実際に求めてみよう。

まず、$\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ を計算する。

$$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=\left(\frac{4+1}{2},\frac{2+3}{2}\right)=(2.5,2.5)$$

中線 $\mathrm{AM}$ を、$\mathrm{A}$ から $2:1$ に内分する。

つまり、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ へ向かって、全体の $\frac{2}{3}$ 進む。

$$\mathrm{G}=\mathrm{A}+\frac{2}{3}\left(\mathrm{M}-\mathrm{A}\right)$$

$$\mathrm{M}-\mathrm{A}=(2.5-1,2.5-1)=(1.5,1.5)$$

$$\frac{2}{3}(1.5,1.5)=(1,1)$$

$$\mathrm{G}=(1,1)+(1,1)=(2,2)$$

本解と同じ ✓

念のため、別の中線でも確かめよう。

$\mathrm{CA}$ の中点 $\mathrm{N}$ は

$$\mathrm{N}=\frac{\mathrm{C}+\mathrm{A}}{2}=(1,2)$$

中線 $\mathrm{BN}$ を、$\mathrm{B}$ から $2:1$ に内分する。

$$\mathrm{G}=\mathrm{B}+\frac{2}{3}(\mathrm{N}-\mathrm{B})=(4,2)+\frac{2}{3}(-3,0)=(4,2)+(-2,0)=(2,2)$$

同じ点 ✓

$3$ 本の中線が、確かに $1$ 点 $(2,2)$ で交わっている。

さて、「$2:1$ に内分」という定理から、なぜ「$3$ 頂点の平均」が出るのか。

式で追ってみよう。

$$\mathrm{G}=\mathrm{A}+\frac{2}{3}\left(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}-\mathrm{A}\right)$$

$$=\mathrm{A}+\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}-\frac{2}{3}\mathrm{A}$$

$$=\frac{1}{3}\mathrm{A}+\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

$3$ 頂点の平均の式が導けた ✓

「$2:1$ の内分」と「$3$ 頂点の平均」は、同じことを違う言葉で言っている。

そして、この事実こそが「$3$ 本の中線が $1$ 点で交わる」ことの証明になる。

$3$ 頂点の平均 $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$ は、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ について対称な式だ。

どの頂点から中線を引いても、同じ点にたどり着く。

中学では「$3$ 本の中線が $1$ 点で交わる」ことを、作図で確かめただけだった。

ベクトルを使えば、それが $3$ 行で証明できる。

対称性という視点が、証明を一瞬にする。