ベクトルの和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ベクトルの和は、成分ごとに足すだけだ。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+(-1))=(4,1)$$

$x$ 成分どうし、$y$ 成分どうしを、それぞれ独立に足す。

横の動きと縦の動きは、互いに干渉しない。

この計算が、図では何を意味するのか。

$2$ つの見方がある。

① 継ぎ足し(三角形則)

$\vec{a}$ の終点に、$\vec{b}$ の始点をつなぐ。 出発点から最終地点への矢印が、和である。

「右に $1$、上に $2$ 進んでから、右に $3$、下に $1$ 進む」 → 結局「右に $4$、上に $1$」

② 平行四辺形則

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を、同じ点から出る $2$ 辺として平行四辺形を作る。 その対角線が和になる。

どちらの見方でも、答えは同じ。

「成分では独立に足す。図では継ぎ足す。」 この $2$ つを結びつけておこう。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+(-1))=(4,1)$$

まとめ:ベクトルの和は成分ごとに足すだけ。図で見ると、$\vec{a}$ の終点に $\vec{b}$ をつなぐと $\vec{a}+\vec{b}$ の終点にたどりつく(または $2$ つを $2$ 辺とする平行四辺形の対角線)。

発展 — 一歩先へ。 ベクトルの和は「移動の合成」だった。この考え方は、物理のあらゆる場面で使われる。

力の合成。

物体に、$2$ つの力が同時にはたらいている。

$$\overrightarrow{F_1}=(1,2),\overrightarrow{F_2}=(3,-1)$$

物体は、どちらに動くか。

答えは、和のベクトル $(4,1)$ の向き。

$2$ つの力は、まるで $1$ つの力($=$ 合力)がはたらいているのと同じ効果をもつ。

この事実を、力の平行四辺形則という。

当たり前に見えるだろうか。 だが、これは実験的に確かめられた物理法則なのだ。

数学的な必然ではない。 「世界がそうなっている」ことを、ニュートンたちが発見した。

同じ合成が、速度でも起こる。

川を渡る船を考えよう。

船の速度(静水中): $(0,3)$ — 真北へ、速さ $3$

川の流れ: $(2,0)$ — 東へ、速さ $2$

実際の船の動きは、和のベクトル。

$$(2,3)$$

船は、北東方向へ、速さ $\sqrt{13}\approx 3.6$ で進む。

「まっすぐ北を向いているのに、東へ流される」 — 川を泳いだことがあれば、体で知っている現象だ。

この計算ができると、実用的な問題が解ける。

「川の流れが東へ $2$ のとき、真北に着くには、どちらを向いて漕げばよいか?」

求める船の速度を $(x,y)$ とすると、和が真北になればよい。

$$(x+2,y)=(0,\text{正の数})$$

$$x=-2$$

つまり、西へ $2$ の成分をもつように、やや西向きに漕ぐ。

流れに逆らって、あらかじめ上流を向く。

船乗りが経験的に知っていたこの技術が、ベクトルの引き算で説明できる。

そして、この「合成と分解」は、あらゆる工学の基礎になっている。

• 飛行機: 推力・揚力・重力・抗力の $4$ つのベクトルの釣り合い
• 建築: 建物にかかる力の分解(垂直方向・水平方向)
• ロボット: 関節の動きを合成して、手先の位置を制御

「ばらばらの量を、独立した成分に分けて、それぞれ足す」

この単純なルールが、世界を設計する言語になっている。

別解

ベクトルの和を、「移動の合成」として体感する。

ベクトルを「移動の指示」だと思ってみよう。

$$\vec{a}=(1,2)⟹\text{東へ }1,\text{北へ }2$$

$$\vec{b}=(3,-1)⟹\text{東へ }3,\text{南へ }1$$

この $2$ つの移動を、続けて行う。

まず、東へ $1$、北へ $2$。 出発点から見て、$(1,2)$ の位置にいる。

次に、東へ $3$、南へ $1$。 そこからさらに動く。

最終的な位置は?

• 東西方向: $1+3=4$(東へ $4$)
• 南北方向: $2-1=1$(北へ $1$)

$$(4,1)$$

本解と同じ ✓

この見方で、大事なことが $2$ つ分かる。

① 順番を入れかえてもいい。

先に $\vec{b}$($3$ 東 $1$ 南)、次に $\vec{a}$($1$ 東 $2$ 北)と動いても、

$$3+1=4,-1+2=1$$

同じ地点 $(4,1)$ に着く。

$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$$

移動は、順番を入れかえても結果が同じ。 これが交換法則の正体だ。

(図で言えば、平行四辺形の $2$ 通りの辿り方。)

② 「東西」と「南北」は、混ざらない。

どれだけ東へ動いても、北への移動量は変わらない。

この独立性が、「成分ごとに計算する」ことの根拠になっている。

さて、大きさについて確かめておこう。

$$|\vec{a}|=\sqrt{5}\approx 2.24,|\vec{b}|=\sqrt{10}\approx 3.16$$

$$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\approx 4.12$$

足したベクトルの大きさ($4.12$)は、$2$ つの大きさの和($2.24+3.16=5.40$)より小さい。

$$|\vec{a}+\vec{b}|\leqq |\vec{a}|+|\vec{b}|$$

これを三角不等式という。

理由は明快だ。

「まっすぐ行く距離($|\vec{a}+\vec{b}|$)は、遠回りする距離($|\vec{a}|+|\vec{b}|$)以下」

寄り道するより、直行するほうが短い。 当たり前だ。

等号が成り立つのは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が同じ向きのとき。 寄り道が寄り道になっていない場合だ。

「三角形の $2$ 辺の和は、残りの $1$ 辺より大きい」

中学の図形で習ったこの定理が、ベクトルの世界でそのまま生きている。