内積が等しい点は垂心

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3つの量が等しい、という条件は差をとると使いやすい。第1の等号から

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PC}})=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0$$

つまり「$\mathrm{PB}\perp \mathrm{CA}$」— 等式の差が、そのまま垂直を言っている。

残りの等号からもう1組の垂直が出て、P は2本の高さの交点、すなわち垂心だ。(2)は具体的な座標で、垂心を高さの交点として計算すればよい。

① (1) を示す。 第1の等号から

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PC}})=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0⟹\mathrm{PB}\perp \mathrm{CA}$$

第2の等号から同様に

$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}})=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0⟹\mathrm{PC}\perp \mathrm{AB}$$

$\mathrm{P}$ は「$\mathrm{B}$ を通る $\mathrm{CA}$ への垂線」と「$\mathrm{C}$ を通る $\mathrm{AB}$ への垂線」の交点 — すなわち垂心である(第3の等号は残りの垂直 $\mathrm{PA}\perp \mathrm{BC}$ を与え、整合する)。

② (2) 座標で求める。 $\mathrm{BC}$ は $x$ 軸上にあるから、$\mathrm{A}$ を通る高さは直線 $x=0$。$\mathrm{B}(-1,0)$ を通り $\mathrm{AC}$ に垂直な高さ: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,-3)$ だから方向 $(3,2)$ の直線 $(x,y)=(-1+3t,2t)$。$x=0$ より $t=\frac{1}{3}$、$y=\frac{2}{3}$。

$$\mathrm{P}\left(0,\frac{2}{3}\right)$$

③ 検算。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\left(0,\frac{7}{3}\right),\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\left(-1,-\frac{2}{3}\right),\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\left(2,-\frac{2}{3}\right)$:

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=-\frac{14}{9},\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=-2+\frac{4}{9}=-\frac{14}{9},\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}=-\frac{14}{9}$$

たしかに3つとも等しい。

まとめ: 「等しい」は「差が0」— 内積の差をくくると垂直が現れる、という変形1つで、見慣れない条件が垂心の正体を明かす。逆に垂心ならこの3内積が等しいことも同じ計算で出る(同値な特徴づけ)。

発展 — 一歩先へ。 3つの内積の共通の値 $k$ 自体にも意味がある。$k=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ は(2)の垂心で計算でき、鋭角三角形なら負になる(垂心から見て各頂点対が鈍角に見える)。また、この等式条件は「P を原点にとると $\vec{A}\cdot \vec{B}=\vec{B}\cdot \vec{C}=\vec{C}\cdot \vec{A}$」— 垂心を原点に選ぶと計算が対称できれいになる、という垂心座標系の入り口でもある。

別解

(2)を定理なしで解く(差の方程式は1次になる)。 (1)の「垂心」に気づかなくても、(2)は条件式をそのまま連立すれば解ける。$\mathrm{P}(x,y)$ とおくと、3つの内積はどれも $x,y$ の2次式だ。

だが等式の差をとると、共通の $x^2+y^2$ の項が相殺して1次方程式に落ちる:

• $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$ から(計算すると)$-3x-3y=-2-3y$、すなわち $x=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}$…と整理でき、
• もう1組の差からも1次方程式が出る。

2本の1次方程式の連立で $\mathrm{P}\left(0,\frac{2}{3}\right)$ — 本解と同じ答えに着く。

「2次の条件の差は1次(円の根軸と同じ現象)」という構造は、この形の連立でいつも使える省力化だ。もっとも、(1)を経由して「A からの高さは $x=0$」と読む本解のほうが計算は軽い — 定理は近道、連立は保険、と両方持っておきたい。