平行条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「平行」とは、何だろうか。

向きが同じ(または正反対)ということだ。

ベクトルの言葉で言えば、$1$ 方が他方の実数倍になっている。

$$\vec{b}=k\vec{a}(k\text{ は実数})$$

この問題では、$\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(4,k)$。

$x$ 成分を見ると、$4=2\times 2$。 つまり $\vec{b}$ は $\vec{a}$ の $2$ 倍だ。

なら、$y$ 成分も $2$ 倍のはず。

$$k=3\times 2=6$$

もう $1$ つの見方がある。

「成分の比が等しい」

$$\frac{2}{4}=\frac{3}{k}⟹k=6$$

そして、これを整理した形が、たすきがけの条件だ。

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

$$2k-3\times 4=0⟹k=6$$

どの見方でも、答えは同じ。 使いやすいものを選べばよい。

① 平行条件を書く。

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=2\cdot k-3\cdot 4=2k-12=0$$

② 解く。

$$k=6$$

(確認:$\vec{b}=(4,6)=2(2,3)=2\vec{a}$ で確かに平行。)

まとめ:平行は「一方が他方の実数倍」。成分では $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$(たすきがけの差 $=0$)。$x$ 成分が $2$ 倍なら $y$ 成分も $2$ 倍、で $k=6$。

発展 — 一歩先へ。 「たすきがけ」の値には、正式な名前がある。行列式だ。

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$

$2$ つのベクトルを、縦に並べて書いた"表"の値。

この行列式が、線形代数の中心概念になる。

行列式が $0$ になる、ということの意味。

① 幾何的: $2$ つのベクトルが平行(平行四辺形がつぶれる)

② 代数的: 連立方程式が、一意に解けない

この $2$ つが、同じことを言っている。

確かめよう。連立方程式を考える。

$$\{\begin{array}{l}2x+4y=c_1\\ 3x+6y=c_2\end{array}$$

係数のベクトルは $(2,3)$ と $(4,6)$ — 平行だ(この問題の $k=6$ の場合)。

行列式は $0$。

この連立方程式は、解けるだろうか。

第 $2$ 式は、第 $1$ 式の $1.5$ 倍になっている。

$$1.5\times (2x+4y)=3x+6y$$

つまり、$2$ つの式は、実質的に同じ式である。

独立な情報が $1$ つしかないのに、未知数が $2$ つある。

解は、$1$ つに定まらない(無数にあるか、$1$ つもないか)。

行列式 $=0$ は、「情報が足りない」ことの合図なのだ。

逆に、行列式 $\ne 0$ なら、解はただ $1$ つに決まる。

$$\{\begin{array}{l}2x+4y=1\\ 3x+5y=2\end{array}$$

行列式は $2\times 5-4\times 3=-2\ne 0$。解は一意に決まる。

クラメルの公式という、行列式で解を書き下す公式まである。

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right|}=\frac{5-8}{-2}=\frac{3}{2}$$

行列式は、$3$ 次元でも定義される。

$$\text{(3次の行列式)}=\text{3 ベクトルが作る平行六面体の体積}$$

体積が $0$ $⟺$ $3$ ベクトルが同一平面上にある(つぶれている)。

そして、$n$ 次元でも。

行列式は、「$n$ 個のベクトルが、$n$ 次元の"かさ"をもつか、つぶれるか」を判定する数なのだ。

「平行かどうか」という素朴な問い。

その答えを与える「たすきがけ」が、線形代数という巨大な理論の、いちばん最初の一歩になっている。

行列式は、コンピュータグラフィックス(座標変換)、量子力学(波動関数の反対称性)、統計(共分散行列)— あらゆる場所で使われている。

別解

「たすきがけ $=0$」の正体を、面積として理解する。

平行の条件を、公式として覚えている人は多い。

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

だが、この式が何を意味するかを知っている人は、少ない。

答え: これは、$2$ つのベクトルが作る平行四辺形の面積(の符号つきの値)である。

確かめよう。

$\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(0,1)$(単位ベクトル $2$ 本)なら

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=1\times 1-0\times 0=1$$

この $2$ つが作る図形は、$1$ 辺 $1$ の正方形。面積は $1$ ✓

$\vec{a}=(2,0)$、$\vec{b}=(0,3)$ なら

$$2\times 3-0\times 0=6$$

$2\times 3$ の長方形。面積は $6$ ✓

この値を、外積(の大きさ)と呼ぶ。

さて、平行四辺形の面積が $0$ になるのは、どんなときか。

$2$ 辺が同じ方向を向いて、"つぶれている"ときだ。

平行四辺形が、ぺしゃんこの線分になってしまう。

$$\text{平行}⟺\text{面積}=0⟺a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

「たすきがけ $=0$」は、「面積がつぶれる」という、幾何的な意味をもっていた。

この問題で確かめる。

$$\vec{a}=(2,3),\vec{b}=(4,6)$$

$$2\times 6-3\times 4=12-12=0✓$$

面積 $0$ — 確かに平行だ。

もし $k=5$ なら?

$$2\times 5-3\times 4=10-12=-2(\ne 0)$$

面積 $2$(絶対値)の平行四辺形ができる。 平行ではない。

内積と外積の対比。

$$\text{内積}\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

$$\text{外積}{a}_1{b}_2-a_2{b}_1=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$

内積は $\cos$、外積は $\sin$!

• 内積 $=0$ → $\cos \theta =0$ → 垂直
• 外積 $=0$ → $\sin \theta =0$ → 平行

きれいな対称性だ。

内積は「どれくらい同じ向きか」、外積は「どれくらい違う向きか」を測っている。

そして、三角形の面積は、外積の半分。

$$S=\frac{1}{2}\left|a_1{b}_2-a_2{b}_1\right|$$

座標が与えられた三角形の面積が、この式で一発で出る。

$3$ 頂点 $(0,0)$、$(2,3)$、$(4,5)$ の三角形なら

$$S=\frac{1}{2}|2\times 5-3\times 4|=\frac{1}{2}\times 2=1$$

公式を丸暗記するより、「面積」という意味を掴んでおくほうが、応用が効く。