垂直条件からtを求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 垂直の条件は「内積が $0$」。

$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})$ を展開する。これは「和と差の積」の形なので、内積でも $|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2$ ときれいに整理される(交差項が消える)。

$|\vec{a}{|}^2,|\vec{b}{|}^2$ を成分から計算する。

$=0$ を解いて $t$ を求める、と見通す。

① 大きさの $2$ 乗。 $|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5$、$|\vec{b}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=10$。

② 内積 $=0$ とおく。 和と差の積より

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2=5-10t^2=0$$

③ 解く。 $t^2=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$、$t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

まとめ:垂直は「内積 $=0$」。$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})$ は和と差の積で $|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2$ となり、交差項が消える。$5-10t^2=0$ から $t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。$\vec{a},\vec{b}$ の大きさだけで決まる。

発展 — 一歩先へ。 $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-t\vec{b}$ は、$\vec{a}$ と $t\vec{b}$ を $2$ 辺とする平行四辺形の対角線。この $2$ 本の対角線が垂直になるのは、平行四辺形がひし形のとき、つまり隣り合う辺の長さが等しい($|\vec{a}|=|t\vec{b}|$)ときだ。

だから条件は $|\vec{a}|=|t||\vec{b}|$、$2$ 乗して $|\vec{a}{|}^2=t^2|\vec{b}{|}^2$、これは $|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2=0$ と同じ。内積の計算と、ひし形の幾何が一致する。

「対角線が直交 $\iff$ ひし形」という初等幾何の定理が、内積 $0$ の式にそのまま現れている。図で見ると、なぜ交差項が消えるのかも腑に落ちる。

別解

別解 — 「対角線が直交するひし形」で考える(得意な人向けの視点)。 $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-t\vec{b}$ は、$\vec{a}$ と $t\vec{b}$ を辺にもつ平行四辺形の $2$ 本の対角線。

平行四辺形の対角線が垂直になるのは、その平行四辺形がひし形のとき。ひし形とは「隣り合う $4$ 辺の長さがすべて等しい」ことで、ここでは $|\vec{a}|=|t\vec{b}|$。

$2$ 乗して $|\vec{a}{|}^2=t^2|\vec{b}{|}^2$。成分から $|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5$、$|\vec{b}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=10$ だから

$$5=10t^2⟹t^2=\frac{1}{2}⟹t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

内積 $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})=0$ を展開する本解と同じ $t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。「対角線が直交 $\iff$ ひし形($=$ 辺が等しい)」と読みかえると、内積を展開せずに図形の条件だけで立式できる。交差項が消えるのも、この対称性のおかげだ。