数学C / 平面ベクトル

面積公式の証明(コーシー・シュワルツ)

最難関編内積不等式の証明

問題

$a, b$ を平面上の零ベクトルでないベクトルとする。

(1) すべての実数 $t$ について $∣ a - t b ∣^{2} \geq 0$ が成り立つことを用いて、不等式 $(a \cdot b)^{2} \leq ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2}$ を示せ。

(2) $a, b$ が平行でないとき、 $a, b$ の張る三角形の面積が $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ で与えられることを示せ。さらに $a = (x_{1}, y_{1}), b = (x_{2}, y_{2})$ のとき $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ を導け。

ヒントを見る

(1) $t$ について展開すると2次式 — 「すべての $t$ で0以上」を係数の言葉に翻訳する道具は何か。(2) 面積の $sin θ$ を、内積で書ける $cos θ$ に置き換えると根号の中に何が残るか。

解答・解説

方針

(1)は |a−tb|² を t の2次式として展開し、常に0以上 ⟺ 判別式≤0 と読む。(2)は S=½|a||b|sinθ の sin²θ=1−cos²θ に内積の定義を入れると根号の中身がそのまま現れ、成分計算(ラグランジュの恒等式)で行列式の形に畳まれる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)のヒント $∣ a - t b ∣^{2} \geq 0$ が全てだ。左辺を展開すると $t$ の2次式になる。

どんな $t$ でも0以上の2次式は、判別式が0以下。その判別式こそ、示したい不等式(コーシー・シュワルツ)の姿をしている。

(2)は面積公式 $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ から。 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ に内積の定義を入れると、根号の中身に(1)の左辺の形がそのまま現れる。あとは成分で展開すれば、行列式の形に畳まれる。

重要

∣ a - t b ∣^{2} \geq 0

(すべての

t

)⟺ 判別式

\leq 0

。

sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ

が内積と面積の橋になる

① (1) 判別式で示す。 展開すると

$∣ a - t b ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} t^{2} - 2 (a \cdot b) t + ∣ a ∣^{2}$

$∣ b ∣^{2} > 0$ の2次式がすべての実数 $t$ で0以上だから、判別式は0以下:

$\frac{D}{4} = (a \cdot b)^{2} - ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} \leq 0 ⟺ (a \cdot b)^{2} \leq ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2}$

② (2) 面積公式。 なす角を $θ$ ( $0 < θ < π$ )とすると $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ 。 $sin θ > 0$ だから

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ 1 - cos^{2} θ = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (∣ a ∣∣ b ∣ cos θ)^{2} = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$

((1)より根号の中は0以上 — 不等式が公式の「資格審査」になっている。)

③ 成分で畳む。 $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ に成分を入れて展開すると

$(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2}) - (x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})^{2} = x_{1}^{2} y_{2}^{2} - 2 x_{1} y_{2} x_{2} y_{1} + x_{2}^{2} y_{1}^{2} = (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})^{2}$

(交差しない項 $x_{1}^{2} x_{2}^{2}, y_{1}^{2} y_{2}^{2}$ が相殺して、完全平方だけが残る。)よって

$S = \frac{1}{2} (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})^{2} = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$

まとめ: 「長さの平方 ≥ 0 → 判別式」がコーシー・シュワルツの最短証明で、その差 $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ の正体が(面積の2倍)の平方 — 不等式と面積公式が同じ1つの式の裏表であることを、この2問構成が見せている。

発展 — 一歩先へ。 3役を演じた量 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ は、行列式(2次)であり、3次元では外積の第3成分になる。符号まで見ると「 $a$ から $b$ へ反時計回りなら正」という向きの情報を持っていて、面積に符号をつけた「符号つき面積」は多角形の面積公式(靴ひも公式)へ一直線につながる。

答

(1) $t$ の2次式の判別式(証明) (2) $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ から(証明)

別解

成分の恒等式で一撃(ラグランジュの恒等式)。 $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ とおいて、示したい差を直接展開してしまう。

$∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2} = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) - (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})^{2}$

(展開すると $a_{1}^{2} b_{1}^{2}$ と $a_{2}^{2} b_{2}^{2}$ が消え、残りが完全平方にまとまる。)右辺は平方だから $\geq 0$ — これで(1)が出た。等号は $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ 、すなわち平行のとき。

しかも(2)の面積公式は、この恒等式の右辺そのもの:

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2} = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$

$t$ の2次式(本解)は「不等式の構造」を、成分の恒等式(本ルート)は「差の正体は平方だった」という種明かしを教えてくれる。 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ という量が、不等式・面積・平行判定の3役を1人で演じている。

ポイント

$∣ a - t b ∣^{2} \geq 0$ の判別式で $(a \cdot b)^{2} \leq ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2}$ 。
$sin^{2} = 1 - cos^{2}$ で $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ 。
成分展開で $(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})^{2}$ に畳まれる。

よくある間違い

判別式の向きを誤る(すべての $t$ で $\geq 0$ ⟺ 判別式 $\leq 0$ 。「解をもつ」条件と混線しやすい)。
(2)で $sin θ \geq 0$ ( $0 < θ < π$ )の確認なしに $sin^{2} θ = sin θ$ とする。
等号条件(平行のとき、面積0)への言及を落とす。