三角形の内心の位置ベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内心 $\mathrm{I}$ は、$3$ つの内角の二等分線の交点。だから「角の二等分線が対辺を分ける比」を使えば、位置ベクトルが計算できる。

角 $\mathrm{A}$ の二等分線は、辺 $\mathrm{BC}$ を隣り合う $2$ 辺の比 $c:b$ に内分する点 $\mathrm{D}$ を通る。まず $\mathrm{D}$ の位置ベクトルを出す。

次に、内心 $\mathrm{I}$ が線分 $\mathrm{AD}$ を分ける比 $(b+c):a$(これも角 $\mathrm{B}$ の二等分線から出る)を使う。$2$ 段の内分を合成すると、$3$ 辺の長さで重みづけた対称な形になる。

① 二等分線と $\mathrm{BC}$ の交点 $\mathrm{D}$。 角 $\mathrm{A}$ の二等分線は $\mathrm{BC}$ を $c:b$ に内分する。よって $$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{b+c}.$$ ② 内心が $\mathrm{AD}$ を分ける比。 内心 $\mathrm{I}$ は三角形 $\mathrm{ABD}$ で角 $\mathrm{B}$ の二等分線上にもある。角 $\mathrm{B}$ の二等分線は $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{BA}:\mathrm{BD}$ に内分する。$\mathrm{BD}=\frac{c}{b+c}\cdot a$($\mathrm{D}$ の内分比より)、$\mathrm{BA}=c$ だから $$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=c:\frac{ac}{b+c}=(b+c):a.$$ ③ 合成する。 $\mathrm{I}$ は $\mathrm{AD}$ を $(b+c):a$ に内分するから $$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(b+c)\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{(b+c)+a}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(b+c)\cdot \frac{b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{b+c}}{a+b+c}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}.$$

まとめ 角の二等分線の内分性質を $2$ 段使い、交点 $\mathrm{D}$ と内分比 $(b+c):a$ を合成すると、内心は $3$ 辺の長さで重みづけた $\frac{a\vec{A}+b\vec{B}+c\vec{C}}{a+b+c}$。重心($1:1:1$)の“辺の長さ重み版”。ベクトル(内分)と幾何の融合。

発展 — 一歩先へ。 重み(重心座標)を変えると別の中心が出る。重み $a:b:c$ が内心、$1:1:1$ が重心、$\tan A:\tan B:\tan C$ が垂心、$\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$ が外心。三角形の“中心”はどれも「$3$ 頂点の重みつき平均」で書け、重みの選び方で性格が決まる。三角形の中心は無数にあり(現在1万種以上が登録)、その分類学の入り口がこの重心座標だ。

別解

別解 — 内心が「$3$ 辺から等距離」であることから逆算(得意な人向けの高い視点)。 内心 $\mathrm{I}$ の定義は「$3$ 辺までの距離がすべて等しい($=$ 内接円の半径 $r$)点」。この見方で重み $a,b,c$ の意味が分かる。

三角形 $\mathrm{ABC}$ を、内心 $\mathrm{I}$ と各辺で作る $3$ つの小三角形 $△\mathrm{IBC},△\mathrm{ICA},△\mathrm{IAB}$ に分ける。それぞれの底辺は $a,b,c$、高さはすべて $r$。だから面積は $\frac{1}{2}ra,\frac{1}{2}rb,\frac{1}{2}rc$ で、比は $a:b:c$。

「内部の点を、向かい合う小三角形の面積で重みづけると、その点自身が復元される」(重心座標の原理)。内心の重みは小三角形の面積比 $a:b:c$ だから

$$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}.$$

角の二等分線を2回使う(本解)代わりに、「$3$ 辺から等距離 → 小三角形の面積比 $a:b:c$」と読むと、重みの正体が面積として見える。