直線上の点への距離の平方和の最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$ という対称な量は、中点 M を仲介すると構造が見える。中線定理で

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$$

$\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$ は定数。だから最小化の相手は $\mathrm{PM}$ だけ、つまり「$x$ 軸上の点 P と定点 M の距離の最小化」に置き換わる。

答えは M から $x$ 軸に下ろした垂線の足。2点への距離の平方和が、1点への距離に化ける — この翻訳が急所だ。

① 中線定理で束ねる。 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}(2,3)$、${\mathrm{AB}}^2=(4-0{)}^2+(4-2{)}^2=20$。よって

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+10$$

② $\mathrm{PM}$ を最小化する。 $\mathrm{P}$ は $x$ 軸上を動くから、$\mathrm{PM}$ が最小になるのは $\mathrm{M}(2,3)$ から $x$ 軸へ下ろした垂線の足 $\mathrm{P}(2,0)$ のとき。最小値は $\mathrm{PM}=3$。

③ 最小値。

$$2\cdot 3^2+10=28$$

(検算: $\mathrm{P}(2,0)$ で直接計算すると ${\mathrm{PA}}^2=4+4=8$、${\mathrm{PB}}^2=4+16=20$、和は $28$ ✓。座標のまま平方完成しても $x=2$ で最小 $28$ になる。)

まとめ: 「平方和は中点で束ねる」— 中線定理を計算道具として使うと、2点への最小化が1点への最小化(=垂線の足)に退化する。恒等式は証明のためだけでなく、問題を運ぶ乗り物として使えることの好例だ。

発展 — 一歩先へ。 点の数を増やしても同じ構造が働く。$n$ 点 ${\mathrm{A}}_1,\dots ,{\mathrm{A}}_n$ への距離の平方和は、重心 G を使って $\sum {\mathrm{PA}}_i^2=n{\mathrm{PG}}^2+\sum {\mathrm{GA}}_i^2$ と分解でき、直線上での最小化は「重心の射影」で決まる。本問の M は2点の重心にほかならない。統計の「偏差平方和は平均のまわりで最小」と同じ式が、幾何では重心の言葉で現れる。

別解

座標で平方完成(構造を知らなくても届く)。 $\mathrm{P}(t,0)$ とおいて直接計算する。

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=(t^2+4)+\left\{(t-4{)}^2+16\right\}=2t^2-8t+36=2(t-2{)}^2+28$$

$t=2$ で最小値 $28$。$\mathrm{P}(2,0)$。3行で終わる。

中線定理(本解)は、この平方完成の「$2(t-2{)}^2$」の正体が $2{\mathrm{PM}}^2$ の変動部分、「$28$」の内訳が $2\times 9+10$($\mathrm{M}(2,3)$ までの最短距離の2乗の2倍+$\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$)であることを教えてくれる。

最小点 $t=2$ が A, B の中点 $\mathrm{M}(2,3)$ の真下(=$x$ 軸への正射影)である、という図形の答えを先に予想してから計算で確かめる、という順番でも戦える。