三角形の重心(ベクトル)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重心の位置ベクトルは $\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$。$3$ 頂点の位置ベクトルの平均だ。

「重心 = 位置ベクトルの平均」という基本を、そのまま使う。

あとは各頂点の座標を平均して、成分に落とすだけだと見通す。

① 位置ベクトルの平均を計算する。

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}=\frac{(0,0)+(4,0)+(0,3)}{3}=\frac{(4,3)}{3}=(\frac{4}{3},1)$$

② 座標を書く。 $\mathrm{G}\left(\frac{4}{3},1\right)$。

まとめ:重心はベクトルで「$3$ 頂点の平均」$\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}$。座標では $x$、$y$ それぞれ平均。$\frac{0+4+0}{3}=\frac{4}{3}$、$\frac{0+0+3}{3}=1$。位置ベクトルの言葉で重心を扱えると、$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$ などの性質も導ける。

発展 — 一歩先へ。 重心 $\mathrm{G}$ には「$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{0}$」という性質がある。$3$ 頂点から $\mathrm{G}$ を見た位置ベクトルの和が、ちょうど打ち消し合う。これが「重心 = つり合いの中心(質量中心)」の意味だ。

じっさい $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}$ を移項すれば、この和が $\vec{0}$ になることが確かめられる。

平均という考え方は $3$ 点にかぎらない。$n$ 個の点の重心は $\frac{\overrightarrow{p_1}+\cdots +\overrightarrow{p_n}}{n}$ で、やはり全部の平均だ。中線を $2:1$ に内分する性質も、この平均の式から出てくる。

別解

別解 — 中線を $2:1$ に分ける点として求める(苦手な人向けの図形ルート)。 重心は「頂点と対辺の中点を結ぶ中線を、頂点側から $2:1$ に内分する点」。この図形の性質を使っても求められる。

まず頂点 $\mathrm{A}$ の対辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ を出す。$\mathrm{M}=\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(2,\frac{3}{2}\right)$。

重心 $\mathrm{G}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ へ $2:1$ に内分する点。位置ベクトルで書くと

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OM}}.$$

$\mathrm{A}=(0,0)$、$\mathrm{M}=\left(2,\frac{3}{2}\right)$ を入れると $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{2}{3}\left(2,\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{4}{3},1\right)$。

$3$ 頂点を平均する本解と同じ $\mathrm{G}\left(\frac{4}{3},1\right)$。中線を $2:1$ に分ける図形の性質から出発しても、同じ重心にたどり着く。