交点の位置ベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点 $\mathrm{P}$ は「線分 $\mathrm{AN}$ 上」と「線分 $\mathrm{BM}$ 上」の両方にある。

だから $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $2$ 通りの媒介変数($s,u$)で表す。

$\vec{a},\vec{b}$ は $1$ 次独立なので、$2$ つの表現の係数を比較して連立方程式を作る。

これが交点を求める定石。まず $\mathrm{M},\mathrm{N}$ を $\vec{a},\vec{b}$ で表しておく、と見通す。

① $\mathrm{M},\mathrm{N}$ を表す。 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分するから $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{2}{3}\vec{a}$。$\mathrm{N}$ は $\mathrm{OB}$ を $1:2$ に内分するから $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{3}\vec{b}$。

② $\mathrm{P}$ を $2$ 通りに表す。 線分 $\mathrm{AN}$ 上($\mathrm{A}$ から $\mathrm{N}$ へ $s$)は

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+s\cdot \frac{1}{3}\vec{b}=(1-s)\vec{a}+\frac{s}{3}\vec{b}$$

線分 $\mathrm{BM}$ 上($\mathrm{B}$ から $\mathrm{M}$ へ $u$)は

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2u}{3}\vec{a}+(1-u)\vec{b}$$

③ 係数比較で連立。 $\vec{a}$:$1-s=\frac{2u}{3}$、$\vec{b}$:$\frac{s}{3}=1-u$。第 $2$ 式より $u=1-\frac{s}{3}$。第 $1$ 式に代入して整理すると $\frac{7s}{9}=\frac{1}{3}$、$s=\frac{3}{7}$。

④ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を求める。 $s=\frac{3}{7}$ を代入して

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(1-\frac{3}{7}\right)\vec{a}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{7}\vec{b}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{b}$$

まとめ:交点は「$2$ 直線上の点として $2$ 通りに表し、$1$ 次独立から係数比較」。$\mathrm{AN}$ 上と $\mathrm{BM}$ 上の表現の $\vec{a},\vec{b}$ の係数をそれぞれ等しいとおいて連立。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{b}$。

発展 — 一歩先へ。 $1$ 次独立な $\vec{a},\vec{b}$ を「座標軸」とみると、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の $(s,t)$ は $\mathrm{P}$ の斜交座標。ふつうの $xy$ 座標と同じように、点を数の組で扱える。

$1$ 次独立が効くのは「表し方が一意」だから。だからこそ係数比較(片方の座標どうしを等しいとおく)が成り立つ。もし $\vec{a},\vec{b}$ が平行(従属)なら、この一意性が崩れる。

交点を「$2$ 直線上の点として $2$ 通りに表す」のは、連立方程式で交点を出す座標幾何と同じ考え。ベクトルは、基準を自由に選べる座標系だ。

別解

別解 — $\vec{a},\vec{b}$ を座標軸とみて交点を出す(得意な人向けの視点)。 $\vec{a},\vec{b}$ を斜交座標の軸とみなすと、$\mathrm{A}=(1,0)$、$\mathrm{B}=(0,1)$、$\mathrm{M}=\left(\frac{2}{3},0\right)$、$\mathrm{N}=\left(0,\frac{1}{3}\right)$ と、ふつうの座標の要領で書ける。

直線 $\mathrm{AN}$ は $\mathrm{A}(1,0)$ と $\mathrm{N}\left(0,\frac{1}{3}\right)$ を通るので、切片形で $x+3y=1$。直線 $\mathrm{BM}$ は $\mathrm{B}(0,1)$ と $\mathrm{M}\left(\frac{2}{3},0\right)$ を通るので $\frac{3}{2}x+y=1$、すなわち $3x+2y=2$。

この $2$ 直線を連立する。$x=1-3y$ を $3x+2y=2$ に入れて $3(1-3y)+2y=2$、$-7y=-1$、$y=\frac{1}{7}$、$x=\frac{4}{7}$。

$(s,t)=\left(\frac{4}{7},\frac{1}{7}\right)$ が $\mathrm{P}$ の斜交座標だから

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{b}.$$

媒介変数で係数比較する本解と同じ。$\vec{a},\vec{b}$ を座標軸に選べば、交点は連立 $1$ 次方程式(直線の交点)そのもの。座標幾何の道具がそのまま使える。