平行・垂直の判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行と垂直、判定式は別物だ。

• 平行: 一方が他方の実数倍 ⟺ $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$(たすき掛けの差)
• 垂直: 内積 $=0$ ⟺ $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$

$\vec{b}=(4,-2)$: たすき掛け $2\cdot (-2)-(-1)\cdot 4=0$ — 平行($\vec{b}=2\vec{a}$ と実数倍でも見える)。

$\vec{c}=(1,2)$: 内積 $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ — 垂直。

「積の差が平行、積の和が垂直」— 似た顔の $2$ 式を取り違えないことがすべて。

① $\vec{b}$ を調べる。 $\vec{b}=(4,-2)$。$2\vec{a}=(4,-2)=\vec{b}$ なので、$\vec{b}=2\vec{a}$。平行。

(内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}=8+2=10\ne 0$ なので垂直ではない。)

② $\vec{c}$ を調べる。 内積 $\vec{a}\cdot \vec{c}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2=2-2=0$。垂直。

$$\text{平行}:\vec{b},\text{垂直}:\vec{c}$$

まとめ:平行は「実数倍(たすきがけの差 $=0$)」、垂直は「内積 $=0$」。$\vec{b}=2\vec{a}$ は平行、$\vec{a}\cdot \vec{c}=0$ は垂直。$2$ つの条件をはっきり区別する。

発展 — 一歩先へ。 $2$ つの判定式 — 内積 $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ とクロス積 $a_1{b}_2-a_2{b}_1$ — は、実は $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$、$a_1{b}_2-a_2{b}_1=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ というペアで、$2$ つ合わせるとなす角 $\theta$ の $\cos$ と $\sin$ の両方が分かる($\tan \theta$ まで出せる)。垂直は $\cos =0$、平行は $\sin =0$ — $2$ つの式は角度の $2$ つの成分を見ていたのだ。

複素数平面を学ぶと、この $2$ つの量は積 $\bar{\alpha }\beta$ の実部と虚部として $1$ つにまとまる — ベクトル・傾き・複素数、$3$ つの言語が同じ幾何を語っている。

別解

ベクトルを直線の傾きに翻訳すると、数IIの知識だけで判定できる。

方向 $(a_1,a_2)$ のベクトルは、傾き $\frac{a_2}{a_1}$ の直線に対応する($a_1\ne 0$ のとき)。

• $\vec{a}=(2,-1)$: 傾き $-\frac{1}{2}$
• $\vec{b}=(4,-2)$: 傾き $-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ — 同じ傾き ⟹ 平行
• $\vec{c}=(1,2)$: 傾き $2$。$\vec{a}$ との積は $-\frac{1}{2}\times 2=-1$ — 傾きの積 $-1$ ⟹ 垂直

図形と方程式(数II)の「平行 $=$ 傾き一致、垂直 $=$ 傾きの積 $-1$」がそのまま使えた。

実はベクトルの判定式は、この傾きの規則の分母を払った形だ。傾き一致 $\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}$ を払えば $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$、積 $-1$ の式を払えば $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$。ベクトル版の利点は、傾きが定義できない縦向き($a_1=0$)でもそのまま使えること — 分数を捨てたぶん、例外が消えている。