内積が一定な点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2定点 A, B が対等に現れる式は、中点 M を仲介すると対称性が最大限に効く。

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ で、$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\overrightarrow{\mathrm{MA}}$。積は「和と差の積」に潰れて

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$$

内積が一定 ⟺ 中点からの距離が一定 ⟺ 円。式を見た瞬間に、答えの形(中点中心の円)まで見通せる。

① 中点を仲介する。 $\mathrm{AB}$ の中点は原点 $\mathrm{O}$。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ だから

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})=|\overrightarrow{\mathrm{PO}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2-4$$

② 条件を翻訳する。

$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2-4=5⟺|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=3$$

③ 軌跡。 原点(= $\mathrm{AB}$ の中点)を中心とする半径3の円

$$x^2+y^2=9$$

まとめ: 「2定点向きの内積は中点で開く」— $k=0$ のときが直径 $\mathrm{AB}$ の円(直角=タレスの円)で、本問はその一般化($k>0$ で半径が $\sqrt{k+|\mathrm{MA}{|}^2}$ に膨らむ)。値の符号と $-|\mathrm{MA}{|}^2$ の下限($k>-4$ で円が存在)まで見えれば完全だ。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=k$ の軌跡は、中点 M 中心・半径 $\sqrt{k+{\mathrm{MA}}^2}$ の円($k>-{\mathrm{MA}}^2$ のとき)。特に $k=0$ は直径 AB の円(タレスの円)で、図形と方程式で学んだ「直角に見込む点の軌跡」がこの式の特別な場合だったと分かる。

別解

座標で2行(苦手な人の最短路)。 $\mathrm{P}(x,y)$ とおいて成分計算してしまえば、置き換えの工夫は要らない。

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=x^2-4+y^2$$

条件 $=5$ より

$$x^2+y^2=9$$

中心が原点(= AB の中点)、半径3の円。2行で終わる。

本解の中点分解 $|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$ は、この計算が「なぜこんなに軽いのか」の種明かしでもある($x^2+y^2$ が $|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2$、$4$ が $|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$)。座標で答えを出し、ベクトルで構造を語る — 2つの言語を往復すると、どんな配置(A,B が斜めでも)に対しても手が動くようになる。