和と差の大きさから積の範囲へ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|\vec{a}+\vec{b}|$ と $|\vec{a}-\vec{b}|$ の情報は、2乗して初めて使える形になる。どちらも展開すれば

$$|\vec{a}{|}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

差をとれば $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が、和をとれば $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ が単独で取り出せる(平行四辺形の法則)。

(2)は $p=|\vec{a}||\vec{b}|$ に2つの制約が両側から効く。コーシー・シュワルツ $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le p$ が下から、相加相乗 $2p\le |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ が上から。両端が実現することの確認までがワンセットだ。

① (1) 足し引きで取り出す。 $9=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$、$1=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$。差の $\frac{1}{4}$ で

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{9-1}{4}=2$$

和の $\frac{1}{2}$ で

$$|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=\frac{9+1}{2}=5$$

② (2) 両側から挟む。 $p=|\vec{a}||\vec{b}|$ とおく。コーシー・シュワルツより $p\ge |\vec{a}\cdot \vec{b}|=2$。相加相乗($|\vec{a}{|}^2,|\vec{b}{|}^2$ に適用)より $2p\le |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=5$、すなわち $p\le \frac{5}{2}$。

③ 端の実現を確かめる。 $p=2$: 等号は $\vec{a}\parallel \vec{b}$(同じ向き)のとき — $\vec{a}=(2,0),\vec{b}=(1,0)$ とすると $|\vec{a}+\vec{b}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ ✓、$p=2$ ✓。$p=\frac{5}{2}$: 等号は $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{\frac{5}{2}}$ のとき — このとき $\cos \theta =\frac{2}{5/2}=\frac{4}{5}$ で実現できる(なす角が実在する)。よって

$$2\le |\vec{a}||\vec{b}|\le \frac{5}{2}$$

まとめ: 和と差の大きさは「内積と平方和の変装」— 足し引きでほどくのが第一手。範囲問題では、上限と下限が別々の不等式から来ることを見抜き、端の実現(等号条件が両立するか)まで確かめて初めて範囲と言い切れる。

発展 — 一歩先へ。 (1)の2式を足した $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$ は中線定理そのもの(平行四辺形の対角線の平方和=4辺の平方和)。ベクトルの展開1行が、幾何の定理と同じ内容になっている — 「2乗して展開」は中線定理・余弦定理を含む万能の母体だ。

別解

和と積の2数として見る(解と係数の関係)。 $x=|\vec{a}{|}^2,y=|\vec{b}{|}^2$ とおくと、(1)から

$$x+y=5,xy=p^2(p=|\vec{a}||\vec{b}|)$$

つまり $x,y$ は2次方程式 $u^2-5u+p^2=0$ の2つの実数解(しかも正)だ。実数解の条件は判別式

$$25-4p^2\ge 0⟺p\le \frac{5}{2}$$

これが上限。下限はコーシー・シュワルツ $p\ge |\vec{a}\cdot \vec{b}|=2$(本解と同じ)。

このルートの御利益は、両端の実現例が判別式から自動で出ること。$p=\frac{5}{2}$ は重解 $x=y=\frac{5}{2}$、つまり $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{5/2}$ のとき。$p=2$ は $xy=4,x+y=5$ から $\{x,y\}=\{1,4\}$、つまり $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ で $\vec{a}\parallel \vec{b}$(たとえば $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(2,0)$ が実際に $|\vec{a}+\vec{b}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ を満たす)。

「大きさの2乗たちを、和と積で管理する」— 対称式の目で見ると、範囲と実現例が同じ計算から手に入る。