内分点と外分点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内分と外分 — 公式のペアで処理する。

内分($m:n$): $\frac{n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m+n}$。遠い方の比が相手の点に掛かる(比 $2:1$ なら $\mathrm{B}$ 寄り — 係数は $\mathrm{A}$ に $1$、$\mathrm{B}$ に $2$)。

外分($m:n$): 内分の $n$ を $-n$ に替えるだけ — $\frac{-n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m-n}$。

$2:1$ で計算すると $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{A}+2\mathrm{B}}{3}=(5,6)$、$\mathrm{Q}=\frac{-\mathrm{A}+2\mathrm{B}}{1}=(13,14)$。

① 内分点。 $m=2$、$n=1$。$\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{3}$。

$$\mathrm{P}=\frac{(1,2)+2(7,8)}{3}=\frac{(15,18)}{3}=(5,6)$$

② 外分点。 $\frac{-1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{2-1}=2\mathrm{B}-\mathrm{A}$。

$$\mathrm{Q}=2(7,8)-(1,2)=(14,16)-(1,2)=(13,14)$$

まとめ:外分は「内分の $n$ を $-n$ に変える」だけ。$2:1$ 外分は分母が $m-n=1$ になり、線分の外側($\mathrm{B}$ の先)に点がくる。内分と外分をセットで覚える。

発展 — 一歩先へ。 答えの検算は比の測り直しで。$\mathrm{AP}=|(4,4)|=4\sqrt{2}$、$\mathrm{PB}=|(2,2)|=2\sqrt{2}$ — 確かに $2:1$。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{AQ}=12\sqrt{2}$、$\mathrm{QB}=6\sqrt{2}$ で $2:1$、かつ $\mathrm{B}$ の外側 — 外分の名のとおりだ。

$k$ を実数全体に動かした $\mathrm{A}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は直線 $\mathrm{AB}$ そのもの(直線のベクトル方程式)。内分・外分・直線が「倍率 $k$ の値域の違い」で統一される — 別解の見方は、そのまま次の話題への橋になっている。

別解

公式の分数を忘れても、$\mathrm{A}$ から何歩進むかで両方出せる。

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(6,6)$。これを「$1$ 歩」とする。

内分 $2:1$: $\mathrm{P}$ は $\mathrm{AB}$ 間を $2:1$ に切るから、$\mathrm{A}$ から全体の $\frac{2}{3}$ だけ進む。

$$\mathrm{P}=(1,2)+\frac{2}{3}(6,6)=(1+4,2+4)=(5,6)$$

外分 $2:1$: $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=2:(-1)$ — $\mathrm{B}$ を通り越して、$\mathrm{A}$ から全体の $\frac{2}{2-1}=2$ 倍進んだ点だ。

$$\mathrm{Q}=(1,2)+2(6,6)=(13,14)$$

「内分は $0$ と $1$ の間の倍率、外分は $1$ を超える(または負の)倍率」— どちらも $\mathrm{A}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ という同じ形の $k$ 違いにすぎない。数直線に $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ を並べた絵を描けば、$k=\frac{2}{3}$ と $k=2$ の位置は一目である。