数学C / 平面ベクトル

垂直な単位ベクトル

★★ 標準垂直単位ベクトル

問題

$a = (3, 4)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。

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$(a_{1}, a_{2})$ に垂直なベクトルは、成分を入れかえて片方の符号を変えると作れる(内積で確認できる)。あとは長さを $1$ に整える。答えが $2$ つある理由も考えよう。

解答・解説

方針

$(a_{1}, a_{2})$ に垂直なベクトルは $(a_{2}, - a_{1})$ または $(- a_{2}, a_{1})$ (成分を入れかえて片方の符号を変える)。それを大きさで割って単位ベクトルにする。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「垂直」と「単位」— $2$ つの条件を順に満たしていく。

垂直なベクトルは、成分を入れかえて片方の符号を反転すれば作れる: $(3, 4)$ に対して $(4, - 3)$ (内積 $12 - 12 = 0$ で確認)。

単位ベクトルにするには、大きさで割る。 $∣ (4, - 3) ∣ = 5$ だから $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ 。

垂直な向きは反対側にもある — $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ も答え。 $2$ 本セットで答えるのを忘れない。

重要

(a_{1}, a_{2})

に垂直なベクトルは

(a_{2}, - a_{1})

(成分を入れかえて一方の符号を変える)

① 垂直なベクトルを作る。 $(3, 4)$ に対して $(4, - 3)$ 。確認:内積 $3 \cdot 4 + 4 \cdot (- 3) = 12 - 12 = 0$ で垂直。

② 単位ベクトルにする。 $∣ (4, - 3) ∣ = 16 + 9 = 5$ で割る。

$\frac{( 4 , - 3 )}{5} = (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

③ 逆向きも答え。 垂直な向きは $2$ つ(反対向き)。

$(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5}), (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

a=(3,4) に垂直な単位ベクトルは2つ(反対向き)

まとめ: $(a_{1}, a_{2})$ に垂直なのは「成分を入れかえて一方にマイナス」= $(a_{2}, - a_{1})$ 。内積が $0$ になるのですぐ確認できる。単位ベクトルは大きさで割る。垂直方向は反対向きも含めて $2$ つある。

発展 — 一歩先へ。 単位化した $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ と $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ のペアは「互いに垂直な単位ベクトルの組」(正規直交基底)— 傾いた座標軸として使える完全なセットだ。あらゆるベクトルがこの $2$ 本で分解でき、内積の計算が普通の座標と同じ形で通る。

$\frac{3}{5}, \frac{4}{5}$ は $cos θ, sin θ$ の有理数版( $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ )。ピタゴラス数から作れる「きれいな角度」は、問題作成の裏側でも重宝されている — $5$ – $12$ – $13$ や $8$ – $15$ – $17$ の親戚が出てきたら、同じ構図を疑ってよい。

答

$(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ と $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

別解

「成分を入れかえて符号反転」の正体は、 $90°$ 回転だ。

ベクトル $(a_{1}, a_{2})$ を原点まわりに反時計回りへ $90°$ 回すと $(- a_{2}, a_{1})$ 、時計回りなら $(a_{2}, - a_{1})$ になる — 紙の上で $(1, 0) \to (0, 1)$ 、 $(0, 1) \to (- 1, 0)$ を確かめると、この置き換え規則が見える。回転は長さを変えず角度を $90°$ 変えるから、出てくるベクトルは自動的に垂直で同じ長さだ。

$(3, 4)$ を両向きに回すと $(- 4, 3)$ と $(4, - 3)$ 。長さは元と同じ $5$ (有名な $3$ – $4$ – $5$ の直角三角形!)なので、 $5$ で割って

$(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5}), (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

「垂直の相棒は $90°$ 回転で作る」— この見方は法線ベクトル(直線 $a x + b y + c = 0$ の $(a, b)$ と方向 $(b, - a)$ の関係)や、複素数平面の $i$ 倍( $= 90°$ 回転)と同じもの。単元をまたいで繰り返し出会う、平面の基本操作である。

ポイント

$(a_{1}, a_{2})$ に垂直 = $(a_{2}, - a_{1})$ 。
大きさで割る。反対向きも答え( $2$ つ)。

よくある間違い

成分を入れかえるだけ( $(4, 3)$ )で符号反転を忘れる(内積 $= 24 \neq = 0$ )
単位化を忘れて $(4, - 3)$ のまま答える(「単位ベクトル」の条件)
逆向きの $1$ 本を落として片方だけ答える