統計的な推測 — 確率分布・正規分布・推定・検定

確率変数 $X$ が次の分布に従う。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ が次の分布に従い、期待値は $E(X)=\frac{3}{2}$ である。分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma (X)$ を求めよ。

$E(X)=\frac{3}{2}$ のとき、$E(2X+3)$ を求めよ。

$V(X)=\frac{3}{4}$ のとき、$V(2X+3)$ を求めよ。

当たる確率が $\frac{1}{5}$ のくじを、毎回もとに戻しながら $100$ 回引く。当たる回数を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ が二項分布 $B\left(100,\frac{1}{5}\right)$ に従うとき、分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma (X)$ を求めよ。

$1$ 枚の硬貨を $4$ 回投げるとき、表が $2$ 回出る確率を求めよ。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,10^2)$ に従うとき、$X=60$ を標準化した値 $Z$ を求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、$P(0\leqq Z\leqq 1)$ を求めよ。ただし、正規分布表より $P(0\leqq Z\leqq 1)=0.3413$ とする。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,10^2)$ に従うとき、$P(50\leqq X\leqq 60)$ を求めよ。ただし $P(0\leqq Z\leqq 1)=0.3413$ とする。

母平均 $50$、母標準偏差 $10$ の母集団から、大きさ $25$ の標本を無作為に抽出する。標本平均 $\overline{X}$ の期待値 $E(\overline{X})$ と標準偏差 $\sigma (\overline{X})$ を求めよ。

確率変数 $X$、$Y$ について $E(X)=2$、$E(Y)=3$ のとき、$E(X+Y)$ を求めよ。

確率変数 $X$ が値 $1,2,3$ をとり、$P(X=k)$ が $k$ に比例する。すなわち $P(X=1)=a$、$P(X=2)=2a$、$P(X=3)=3a$ である。定数 $a$ と期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は値 $1,2,3$ をとり、$P(X=k)=\frac{k}{6}$ である。期待値が $E(X)=\frac{7}{3}$ のとき、分散 $V(X)$ を求めよ。

$E(X)=\frac{7}{3}$、$V(X)=\frac{5}{9}$ のとき、$E(3X-1)$ と $V(3X-1)$ を求めよ。

$1$ 個のさいころを $180$ 回投げて、$1$ の目が出る回数を $X$ とする。$X$ の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

当たる確率が $\frac{1}{3}$ のくじを $5$ 回引くとき(毎回もとに戻す)、ちょうど $2$ 回当たる確率を求めよ。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(60,10^2)$ に従うとき、$P(50\leqq X\leqq 75)$ を求めよ。ただし $P(0\leqq Z\leqq 1)=0.3413$、$P(0\leqq Z\leqq 1.5)=0.4332$ とする。

$1$ 枚の硬貨を $400$ 回投げて表が出る回数を $X$ とする。$X$ が $215$ 回以上になる確率を、正規分布で近似して求めよ。ただし $P(0\leqq Z\leqq 1.5)=0.4332$ とする。

母平均 $50$、母標準偏差 $10$ の母集団から大きさ $100$ の標本を抽出する。標本平均 $\overline{X}$ が $52$ 以上になる確率を求めよ。ただし $\overline{X}$ は正規分布に従うとみなし、$P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とする。

母標準偏差 $10$ の母集団から大きさ $100$ の標本を抽出したところ、標本平均は $50$ であった。母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし信頼度 $95\%$ では $1.96$ を用いる。

ある製品 $100$ 個を無作為に調べたところ、$40$ 個が規格に合っていた。規格に合う母比率 $p$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし $\sqrt{0.24}=0.49$、信頼度 $95\%$ では $1.96$ を用いる。

独立な確率変数 $X$、$Y$ について $V(X)=4$、$V(Y)=9$ のとき、$V(X+Y)$ と標準偏差 $\sigma (X+Y)$ を求めよ。

独立な確率変数 $X$、$Y$ について $E(X)=\frac{3}{2}$、$E(Y)=2$、$V(X)=4$、$V(Y)=9$ のとき、$E(2X+3Y)$ と $V(2X+3Y)$ を求めよ。

$2$ 個のさいころを同時に投げ、出た目の和を $S$ とする。$S$ の期待値 $E(S)$ と分散 $V(S)$ を求めよ。

$1$ 枚の硬貨を $100$ 回投げて表が出る回数を $X$ とする。$X$ が $60$ 回以上になる確率を正規分布で近似して求めよ。ただし $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とする。

母標準偏差 $10$ の母集団で、母平均を信頼度 $95\%$ で推定したい。信頼区間の幅を $4$ 以下にするには、標本の大きさ $n$ を少なくともいくつにすればよいか。信頼度 $95\%$ では $1.96$ を用いる。

母比率を信頼度 $95\%$ で推定するとき、誤差(信頼区間の半分の幅)を $0.05$ 以下にしたい。標本比率がどんな値でも成り立つように、標本の大きさ $n$ を少なくともいくつにすればよいか。信頼度 $95\%$ では $1.96$ を用いる。

ある硬貨を $400$ 回投げたところ、表が $230$ 回出た。この硬貨は「表と裏が同じ確率で出る」といえるか。有意水準 $5\%$ で両側検定せよ。両側 $5\%$ の棄却域の境界は $\pm 1.96$ とする。

ある工場の製品は不良率が $20\%$ とされている。改善のため製法を変え、$100$ 個を調べたところ不良品は $30$ 個だった。「不良率は $20\%$ より高くなった」といえるか。有意水準 $5\%$ で片側検定せよ。片側 $5\%$ の棄却域の境界は $1.64$ とする。

ある試験の得点 $X$ は正規分布 $N(100,20^2)$ に従う。得点が $130$ 点以上の受験者は全体の何 $\%$ か。ただし $P(0\leqq Z\leqq 1.5)=0.4332$ とする。

独立な確率変数 $X$、$Y$ について $V(X)=4$、$V(Y)=9$ のとき、$V(2X-3Y)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている。

$E(X)$、$V(X)$ を求め、さらに $Y=3X+2$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従い、$E(X)=6$、$V(X)=4.8$ である。$n$ と $p$ の値を求めよ。

$1$ 個のさいころを $4$ 回投げるとき、$1$ の目が出る回数を $X$ とする。$X$ は二項分布 $B\left(4,\frac{1}{3}\right)$ に従う。$P(X=2)$ と $P(X\ge 3)$ を求めよ。

母平均 $60$、母標準偏差 $10$ の正規分布に従う母集団から、大きさ $25$ の標本を無作為に抽出する。標本平均 $\overline{X}$ の平均と標準偏差を求め、$P(\overline{X}\ge 64)$ を求めよ。ただし、標準正規分布で $P(0\le Z\le 2)=0.4772$ とする。

ある母集団から大きさ $100$ の標本を無作為に抽出したところ、標本平均は $52$ であった。母標準偏差を $10$ とするとき、母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし $1.96$ を用いる。

ある政策への賛成について、$400$ 人を無作為に調査したところ $100$ 人が賛成した。母比率 $p$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし $1.96$ を用い、必要なら $\sqrt{0.1875}\approx 0.433$ を用いてよい。

ある母比率を、信頼度 $95\%$ で誤差 $0.05$ 以下で推定したい。母比率がまったく見当がつかないとき、必要な標本の大きさ $n$ は少なくともいくらか。ただし $1.96$ を用いる。

あるさいころを $600$ 回投げたところ、$1$ の目が $80$ 回出た。このさいころで $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ であるといえるか。有意水準 $5\%$ で両側検定せよ。ただし正規分布で近似し、棄却域の境界を $\pm 1.96$ とする。

$X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき、$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ である。期待値 $E(X)=\sum _{k=0}^{n}kP(X=k)$ が $np$ に等しいことを示せ。ただし $q=1-p$ とする。

$X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき、$E(X)=np$ を用いて、分散 $V(X)=np(1-p)$ を示せ。ただし $q=1-p$ とし、$E(X(X-1))=n(n-1)p^2$ は用いてよい。

確率変数 $X$ について、$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ が成り立つことを示し、これを用いて $E(X^2)\ge \{E(X){\}}^2$ が常に成り立つことを示せ。

$X$ が二項分布 $B\left(10,\frac{1}{3}\right)$ に従うとき、$P(X=k)$ が最大となる $k$ を求めよ。

$1$ 枚のコインを $100$ 回投げるとき、表の出る回数 $X$ が $60$ 回以上となる確率を、正規分布による近似で求めよ。標準正規分布で $P(0\le Z\le 2)=0.4772$ とする。

母標準偏差が $\sigma =10$ の母集団から大きさ $n$ の標本を無作為に抽出する。標本平均 $\bar{X}$ による母平均の信頼度 $95\%$ の信頼区間の幅を $2$ 以下にするには、$n$ を少なくともいくつにすればよいか。標準正規分布で $P(-1.96\le Z\le 1.96)=0.95$ とする。

ある政策への賛成率を調べるため $400$ 人を無作為に抽出したところ、$200$ 人が賛成であった。母比率(全体の賛成率)に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。標準正規分布で $P(-1.96\le Z\le 1.96)=0.95$ とする。

あるコインを $100$ 回投げたところ表が $60$ 回出た。「このコインは公正である(表の出る確率が $\frac{1}{2}$)」という仮説を、有意水準 $5\%$ の両側検定で検討せよ。標準正規分布で $P(-1.96\le Z\le 1.96)=0.95$ とする。

母平均 $m$、母分散 ${\sigma }^2$ の母集団から、大きさ $n$ の無作為標本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ を取り出す($X_1,\dots ,X_n$ は互いに独立で、それぞれ母集団と同じ分布に従う)。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

(1) $E(\bar{X})=m$ と $V(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$ を示せ。

(2) $S=\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$ とするとき、$E(S)=(n-1){\sigma }^2$ を示せ。

(3) 母分散の推定に $\frac{1}{n}S$ を使うと平均的にどうなるか。$\frac{1}{n-1}S$ を使う理由を述べよ。

母平均 $m$、母分散 ${\sigma }^2$ の母集団から、大きさ $n_1$ の無作為標本と、大きさ $n_2$ の無作為標本を独立に取り出す。それぞれの標本平均を ${\bar{X}}_1,{\bar{X}}_2$ とし、$0\le w\le 1$ に対して

$$T=w{\bar{X}}_1+(1-w){\bar{X}}_2$$

とおく。

(1) どんな $w$ に対しても $E(T)=m$ であることを示せ。

(2) $V(T)$ を $w$ の式で表し、$V(T)$ を最小にする $w$ を求めよ。

(3) (2)の $w$ に対する $V(T)$ を求め、その $T$ が「2つの標本を合わせて1つの標本と見たときの標本平均」に一致することを示せ。

$1$ から $n$ までの番号が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードから、無作為に $k$ 枚($1\le k\le n$)を同時に取り出す。取り出したカードの番号の最大値を $M$ とする。

(1) $k\le t\le n$ のとき $P(M\le t)$ を求めよ。

(2) $P(M=t)$ を求めよ。

(3) $E(M)=\frac{k(n+1)}{k+1}$ を示せ。

(4) $n=10,k=3$ のときの $E(M)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は $-1,0,1$ の値をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとるとし、$Y=X^2$ とする。

(1) $X$ と $Y$ は独立でないことを示せ。

(2) $E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つことを示せ(すなわち $X$ と $Y$ の共分散は $0$ で、無相関である)。

(3) 一般に、$X$ と $Y$ が独立ならば $E(XY)=E(X)E(Y)$ であることを示せ。

A社の電池の寿命 $X$(時間)は正規分布 $N\left(102,6^2\right)$ に、B社の電池の寿命 $Y$ は正規分布 $N\left(96,8^2\right)$ に従い、$X$ と $Y$ は独立であるとする。

独立な正規分布に従う確率変数の差もまた正規分布に従うこと、および正規分布表の値

$$P(0\le Z\le 0.60)=0.2257,P(0\le Z\le 1.64)=0.4500$$

を用いてよい($Z$ は標準正規分布に従う)。

(1) $X-Y$ の平均と標準偏差を求めよ。

(2) A社の電池がB社の電池より長持ちする確率 $P(X>Y)$ を求めよ。

(3) A社が製造を改良し、寿命の平均を $\mu$ にした(標準偏差は $6$ のまま)。$P(X>Y)\ge 0.95$ とするための $\mu$ の最小値を求めよ。

$U$ と $V$ は独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする(すなわち $0\le a\le b\le 1$ のとき $P(a\le U\le b)=b-a$)。$S=U+V$ とする。

点 $(U,V)$ は単位正方形 $0\le u\le 1$、$0\le v\le 1$ の上に一様に散らばるので、事象の確率は対応する領域の面積に等しい。

(1) $0\le s\le 1$ のとき $P(S\le s)$ を求めよ。

(2) $1\le s\le 2$ のとき $P(S\le s)$ を求めよ。

(3) $P\left(\left|S-1\right|\le \frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

(4) $E(S)$ と $V(S)$ を求めよ。

$X$ は二項分布 $B(m,p)$ に、$Y$ は二項分布 $B(n,p)$ に従い、$X$ と $Y$ は独立であるとする($q=1-p$ とおく)。

(1) 二項定理を用いて、次の等式(ヴァンデルモンドの畳み込み)を示せ。

$$\sum _{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k}\right)$$

(2) $X+Y$ は二項分布 $B(m+n,p)$ に従うことを示せ。

(3) (2)から $E(X+Y)$ と $V(X+Y)$ を求め、$E(X)+E(Y)$、$V(X)+V(Y)$ と一致することを確かめよ。

大きさ $N$ の母集団($N$ 個の値からなる)の母平均を $m$、母分散を ${\sigma }^2$ とする。この母集団から $k$ 個($1\le k\le N$)を非復元(取り出したら戻さない)で無作為に取り出し、その値を $X_1,\dots ,X_k$、平均を $\bar{X}=\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{X}_i$ とする。

(1) どの $i$ についても $E(X_i)=m$、$V(X_i)={\sigma }^2$ である理由を説明せよ。

(2) $i\ne j$ のとき、$X_i$ と $X_j$ の共分散が $-\frac{{\sigma }^2}{N-1}$ であることを示せ(ヒント: $k=N$ として全部取り出すと、$X_1+\cdots +X_N$ は定数である)。

(3) $V(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{k}\cdot \frac{N-k}{N-1}$ を示せ。

(4) 母集団 $\{1,2,3,4,5\}$ から $k=2$ 個を取り出すときの $V(\bar{X})$ を求めよ。