1次式の平均と分散

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $X$ を $3$ 倍して $1$ 引いた新しい変数の平均と分散。分布表を作り直さなくても、変換の公式で片づく。

$$E(aX+b)=aE(X)+b,V(aX+b)=a^{2}V(X)$$

覚えどころは非対称さだ。平均は「$3$ 倍して $1$ 引く」がそのまま伝わる。分散はずらし($-1$)が効かず、倍率は $2$ 乗で効く — 全員を同じだけずらしても散らばりは変わらず、$3$ 倍に引き伸ばすと $2$ 乗の量である分散は $9$ 倍になる、という理屈である。

① 期待値。

$$E(3X-1)=3E(X)-1=3\cdot \frac{7}{3}-1=7-1=6$$

② 分散。 $-1$ は効かず、$3^2=9$ 倍。

$$V(3X-1)=3^2\cdot V(X)=9\cdot \frac{5}{9}=5$$

まとめ:期待値は $1$ 次式をそのまま通す($3$ 倍して $-1$)。分散は平行移動($-1$)を無視し、$\times 3$ を $\times 9$ にする。この非対称さ($a$ と $a^2$)を押さえる。

発展 — 一歩先へ。 この変換公式の最重要応用が、後で学ぶ標準化 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ だ。$a=\frac{1}{\sigma },b=-\frac{\mu }{\sigma }$ の $1$ 次変換だから、$E(Z)=0$、$V(Z)=1$ — どんな分布も「平均 $0$・散らばり $1$」の物差しにそろえられる。正規分布の表が $1$ 枚で済む理由が、この問題の公式にある。

データの分析(数I)の「仮平均」「変量の変換」とも同じ式。確率変数でもデータでも、$1$ 次変換に対する平均と分散のふるまいは一言一句同じである。

別解

公式を信じられないときは、新しい変数の分布表を実際に作って確かめられる。

$Y=3X-1$ の値は、$X=1,2,3$ に対応して $2,5,8$。確率はそのまま $\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6}$ だ。

$$E(Y)=2\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{2}{6}+8\cdot \frac{3}{6}=\frac{2+10+24}{6}=6$$

分散も直接に。$E(Y^2)=4\cdot \frac{1}{6}+25\cdot \frac{2}{6}+64\cdot \frac{3}{6}=\frac{4+50+192}{6}=41$ だから

$$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2=41-36=5$$

公式の答え($E=3\cdot \frac{7}{3}-1=6$、$V=9\cdot \frac{5}{9}=5$)と完全に一致する。

値が $3$ つ程度なら直接計算も数分で済む。公式ルートと直接ルートの答え合わせを一度自分の手でやると、$E$ は係数がそのまま・$V$ は $2$ 乗という非対称が「暗記」から「納得」に変わる。