数学B / 統計的な推測

どちらが長持ちするか(正規分布の差)

最難関編正規分布差の分布標準化

問題

A社の電池の寿命 $X$ (時間)は正規分布 $N (102, 6^{2})$ に、B社の電池の寿命 $Y$ は正規分布 $N (96, 8^{2})$ に従い、 $X$ と $Y$ は独立であるとする。

独立な正規分布に従う確率変数の差もまた正規分布に従うこと、および正規分布表の値

$P (0 \leq Z \leq 0.60) = 0.2257, P (0 \leq Z \leq 1.64) = 0.4500$

を用いてよい( $Z$ は標準正規分布に従う)。

(1) $X - Y$ の平均と標準偏差を求めよ。

(2) A社の電池がB社の電池より長持ちする確率 $P (X > Y)$ を求めよ。

(3) A社が製造を改良し、寿命の平均を $μ$ にした(標準偏差は $6$ のまま)。 $P (X > Y) \geq 0.95$ とするための $μ$ の最小値を求めよ。

ヒントを見る

「A のほうが長持ち」を、1つの確率変数についての不等式に言い換えよ。

差の分散はどうなるか。引き算だから引く、ではない。

解答・解説

方針

2つの分布を別々に眺めていても答えは出ない。差 $X - Y$ を1つの確率変数と見て、その分布(正規分布)を作る。平均は差、分散は和である(引き算でも分散は足す)。あとは標準化して表を引くだけ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「A が B より長持ちする確率」は、2つの分布を別々に眺めていても求まらない。

差を1つの確率変数と見るのだ。 $X - Y > 0$ が「A のほうが長い」ということ。 $X - Y$ の分布さえ分かれば、あとは標準化して表を引くだけである。

独立な正規分布の差は、また正規分布になる。平均は差、分散は和だ。ここが落とし穴で、 $V (X - Y) = V (X) + V (Y)$ である。マイナスが2乗されて消えるからだ。もし引き算にしてしまうと $36 - 64 < 0$ となり、標準偏差が定義できない — その時点で誤りに気づける。

(3)は逆算だ。確率を $0.95$ にするために平均をどこまで上げればよいか。標準化した値が境目にくる、という形で方程式にする。

公式独立なら

V (X - Y) = V (X) + V (Y)

(分散は引き算でも足す)

定理独立な正規分布の差

X - Y

は正規分布

N (μ_{X} - μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2})

に従う

① (1) 差の分布を作る。 平均は

$E (X - Y) = 102 - 96 = 6$

分散は

$V (X - Y) = V (X) + V (Y) = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$

よって標準偏差は $100 = 10$ である。 $X - Y$ は $N (6, 1 0^{2})$ に従う。

② (2) 標準化して表を引く。 求める確率は

$P (X > Y) = P (X - Y > 0)$

$Z = \frac{( X - Y ) - 6}{10}$ とおくと $Z$ は標準正規分布に従い、 $X - Y > 0$ は

$Z > \frac{0 - 6}{10} = - 0.60$

と書き直せる。よって

$P (X > Y) = P (Z > - 0.60) = P (- 0.60 < Z < 0) + P (Z \geq 0) = 0.2257 + 0.5 = 0.7257$

(標準正規分布は原点対称だから $P (- 0.60 < Z < 0) = P (0 < Z < 0.60) = 0.2257$ 。)

約 $73%$ である。平均で $6$ 時間の差があっても、ばらつきが $10$ 時間もあるので、 $4$ 回に1回はB社が勝ってしまう。

差 X-Y の分布 N(6, 10^2)。A が B より長持ちする確率は、0 より右の面積(青)。平均が 6 だけ右にずれているぶん、半分より大きい 0.7257 になる。0 は平均から左へ 0.6 標準偏差の位置

③ (3) 逆算する。 平均を $μ$ にすると $X - Y$ は $N (μ - 96, 1 0^{2})$ に従う(A の標準偏差は $6$ のままなので、差の分散はやはり $36 + 64 = 100$ )。よって

$P (X > Y) = P (Z > \frac{0 - ( μ - 96 )}{10}) = P (Z > \frac{96 - μ}{10})$

これが $0.95$ 以上であればよい。表より $P (Z > - 1.64) = 0.5 + 0.4500 = 0.95$ だから、条件は

$\frac{96 - μ}{10} \leq - 1.64$

(境目が左へ動くほど、右側の面積は大きくなる。)整理して

$96 - μ \leq - 16.4 ⟹ μ \geq 112.4$

よって $μ$ の最小値は $112.4$ 時間である。

まとめ: 2つを比べるときは「差」を作る。平均は引き、分散は足す。あとは標準化して表を引くだけだ。

発展 — 一歩先へ。 「差を1つの変数と見る」という発想は、統計的検定そのものである。2つのグループの平均に差があるかを調べるとき、まさに差の分布を作り、その中で $0$ がどのあたりに位置するかを見る。 $0$ が分布のはしのほうにあれば「差がある」と判断するのだ。

本問の(3)は、その逆問題を解いたことになる。「 $0$ を十分に端へ追いやるには、平均をどれだけ動かせばよいか」。製品開発の目標設定は、実際にこうして決められる。「B社より $6$ 時間長い」では足りない。 $95%$ の確率で勝ちたいなら、 $16.4$ 時間の差が要る — ばらつきが大きいほど、確実に勝つには大きな差が必要になるのだ。

答

(1) 平均 $6$ 、標準偏差 $10$ ( $36 + 64 = 100$ ) (2) $P (Z > - 0.60) = 0.5 + 0.2257 = 0.7257$ (3) $μ \geq 96 + 10 \times 1.64 = 112.4$ より、最小値は $112.4$ 時間

別解

標準化を「安全余裕」として読む(苦手な人向け)。 この計算は、次のように読むと意味がはっきりする。

$X - Y$ の平均は $6$ 、標準偏差は $10$ 。つまり「A は平均して $6$ 時間ぶん有利だが、そのばらつきは $10$ 時間ぶんある」ということだ。そこで比をとる。

$\frac{平均の差}{差のばらつき} = \frac{6}{10} = 0.60$

この $0.60$ は「有利さが、ばらつき何個ぶんか」を表している。大きいほどA が勝つ確率は高い。いまは $0.60$ 個ぶんしか余裕がないので、勝率は $0.73$ 程度にとどまる。

もし平均の差が $20$ 時間(ばらつき $2$ 個ぶん)なら $P (Z > - 2) = 0.977$ で、ほぼ確実にA が勝つ。逆に平均の差が $0$ なら $0.5$ 、つまり五分五分だ。

(3)はこの逆算にほかならない。勝率 $0.95$ に必要な余裕は $1.64$ 個ぶん。だから平均の差を $10 \times 1.64 = 16.4$ 時間にすればよい。B の平均が $96$ だから、A は $112.4$ 時間である。

「差 $\div$ ばらつき」という比を見る目 — これが統計の実践でもっとも役に立つ。 $t$ 値や $z$ 値と呼ばれる量は、すべてこの形をしている。数値を丸暗記するのではなく、「ばらつき何個ぶんの差か」と読む習慣をつけたい。

ポイント

「A が長持ち」 $\Leftrightarrow$ $X - Y > 0$ 。差を1つの変数に。
$V (X - Y) = V (X) + V (Y) = 100$ (引き算でも足す)。
標準化して $P (Z > - 0.60) = 0.5 + 0.2257 = 0.7257$ 。

よくある間違い

$V (X - Y) = V (X) - V (Y)$ としてしまう。分散は引き算でも足す( $36 + 64 = 100$ )。マイナスは2乗されて消える。 $36 - 64$ では負になり、標準偏差が定義できない時点で気づける。
$P (X > Y)$ を $P (X > 96)$ (B の平均と比べる)としてしまう。B の寿命も確率変数で、ばらつきがある。両方のばらつきを取り込むために「差」を作る。
(3)の標準化で、A の標準偏差 $6$ で割ってしまう。使うのは「差の標準偏差」 $10$ である。