仮説検定(両側)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 仮説検定は「仮説が正しいとしたら、観測値はどれくらい珍しいか」を測る手続き。

まず仮説「$p=\frac{1}{6}$」を正しいと仮定する。すると $1$ の目の回数 $X$ は、平均 $np=100$、標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}$ の分布(正規近似)に従う。

観測値 $80$ を標準化して $Z$ を出す。$100$ から何個ぶん離れているかを測るわけだ。

その $Z$ が、両側 $5\%$ の棄却域 $|Z|>1.96$ に入るかどうかで判断する。

① 仮説のもとでの平均と標準偏差。 $p=\frac{1}{6}$、$n=600$ とすると

$$\text{平均}=np=600\cdot \frac{1}{6}=100,\text{標準偏差}=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{600\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{500}{6}}\approx 9.13$$

② 標準化する。 観測値 $X=80$ を標準化すると

$$Z=\frac{80-100}{9.13}\approx -2.19$$

③ 判断する。 両側 $5\%$ の棄却域は $|Z|>1.96$。$|Z|\approx 2.19>1.96$ なので $Z$ は棄却域に入る。よって仮説「$1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$」は棄却され、確率が $\frac{1}{6}$ とはいえない。

まとめ:仮説検定は「仮説のもとで標準化 → 棄却域と比較」。平均 $np=100$、標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}\approx 9.13$ で $Z\approx -2.19$。両側 $5\%$ は $|Z|>1.96$ が棄却域で、$2.19$ はこれを超えるので棄却。$80$ 回は $100$ 回から見て「偶然とは考えにくいほど少ない」。

発展 — 一歩先へ。 棄却域と比べるかわりに、p 値で判断してもよい。$Z\approx -2.19$ の外側の面積は片側で約 $0.0143$、両側では約 $0.0286$。

このp値が有意水準 $0.05$ より小さいから棄却する。「$|Z|>1.96$ で棄却」と「p 値 $<0.05$ で棄却」はまったく同じことを言っている。

なお、今回は「$\frac{1}{6}$ と異なるか」を調べたので両側検定。もし「$\frac{1}{6}$ より少ないか」だけを問うなら片側検定になり、境界は $-1.645$ に変わる。同じデータでも、問いの立て方で棄却域が変わる点に注意したい。

別解

別解 — 回数でなく比率で検定する(得意な人向けの視点)。 回数 $X$ のかわりに、比率 $\hat{p}=\frac{X}{n}$ を主役にしても、同じ結論に届く。

観測された比率は $\hat{p}=\frac{80}{600}=\frac{2}{15}\approx 0.1333$。仮説の値は $p_0=\frac{1}{6}\approx 0.1667$。

仮説のもとでの比率の標準偏差は $\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{(1/6)(5/6)}{600}}\approx 0.01521$。標準化すると

$$Z=\frac{0.1333-0.1667}{0.01521}\approx -\mathrm{2.19.}$$

回数を標準化した本解とまったく同じ $Z\approx -2.19$。回数 $X$ を $n$ で割っても、平均・標準偏差も同じ比率で割られるので、標準化した $Z$ は一致する。$|Z|>1.96$ で棄却、という判断も変わらない。「回数で見るか割合で見るか」は好みの問題だ。