分散と標準偏差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 期待値は「どこに落ち着くか」を語る。分散は「どれくらい散らばるか」を語る。

散らばりとは、平均からのズレの大きさだ。

ズレをそのまま平均すると、$0$ になってしまう(プラスとマイナスが打ち消し合う)。だから $2$ 乗してから平均する。

$$V(X)=(\text{ズレ}{)}^2\text{ の平均}$$

定義どおりに計算してもよいが、実務ではこちらが速い。

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$$

「$2$ 乗の平均 $-$ 平均の $2$ 乗」 — データの分析(数I)で出てきた公式と、まったく同じ形だ。

$E(X^2)$ を出して、$\{E(X){\}}^2$ を引く。 それだけである。

① $E(X^2)$ を求める。 値の $2$ 乗に確率をかけて足す。

$$E(X^2)=0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+4\cdot \frac{3}{8}+9\cdot \frac{1}{8}=\frac{0+3+12+9}{8}=\frac{24}{8}=3$$

② 分散を計算する。

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=3-(\frac{3}{2}{)}^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$$

③ 標準偏差を求める。

$$\sigma (X)=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

まとめ:分散は「$E(X^2)-\{E(X){\}}^2$」で出すのが速い(定義 $E((X-m{)}^2)$ より計算が楽)。標準偏差は分散のルート。分散はバラつきの大きさを表す。

発展 — 一歩先へ。 なぜ、ズレを $2$ 乗するのか。絶対値ではダメなのか。

素朴には、絶対値のほうが自然に見える。

$$E(|X-\mu |)(\text{平均絶対偏差})$$

これも散らばりの指標として、ちゃんと使える。 それでも $2$ 乗が主役なのには、理由がある。

理由 $1$: 微分できる。

絶対値 $|x|$ は $x=0$ で折れていて、微分できない。$2$ 乗はなめらかだ。「散らばりが最小になる点を求める」ような問題では、微分できることが決定的に効く。

実際、$E[(X-a{)}^2]$ を最小にする $a$ を求めると、ちょうど期待値 $\mu$ になる。つまり平均とは、$2$ 乗のズレを最小にする点なのだ。

理由 $2$: 足し算ができる。

独立な $X$、$Y$ について

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$

分散は、独立なら足せる。 絶対値ではこうはいかない。

この加法性のおかげで、$n$ 個のデータの平均の分散が $\frac{{\sigma }^2}{n}$ と計算でき、統計学が成立する。

理由 $3$: 三平方の定理と同じ形。

$$\sigma =\sqrt{({\text{ズレ}}_1{)}^2+({\text{ズレ}}_2{)}^2+\cdots }$$

この形は、多次元空間の"距離"そのものだ。 分散を $2$ 乗で定義すると、統計が幾何(距離と直交)の言葉で語れるようになる。

独立 $=$ 直角。 分散の加法性は、三平方の定理の統計版である。

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)⟷c^2=a^2+b^2$$

$2$ 乗するという素朴な選択が、統計学を「幾何学」に変えた。

便利だから $2$ 乗するのではない。$2$ 乗したから、統計学は美しくなったのだ。

別解

定義どおり、「ズレの $2$ 乗の平均」で計算する。

公式を忘れても、定義に戻れば必ず解ける。

平均は $\frac{3}{2}$。 各値のズレを出す。

$$0-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2},1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2},2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2},3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

ズレを $2$ 乗する。

$$\frac{9}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{9}{4}$$

確率で重みをつけて足す。

$$V(X)=\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{8}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{8}+\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{8}$$

$$=\frac{9}{32}+\frac{3}{32}+\frac{3}{32}+\frac{9}{32}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$$

本解と同じ ✓

なぜ $2$ つの計算が一致するのか。 定義を展開すれば分かる。

$$E[(X-\mu {)}^2]=E[X^2-2\mu X+{\mu }^2]=E(X^2)-2\mu E(X)+{\mu }^2$$

$E(X)=\mu$ だから

$$=E(X^2)-2{\mu }^2+{\mu }^2=E(X^2)-{\mu }^2$$

「$2$ 乗の平均 $-$ 平均の $2$ 乗」は、定義を展開しただけだった。

もっと速い道もある。

前問で見たとおり、この $X$ は二項分布 $B\left(3,\frac{1}{2}\right)$ だ。二項分布の分散は

$$V(X)=npq=3\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$$

一瞬で出る。

$3$ つの道が、同じ $\frac{3}{4}$ にたどり着いた。

• 定義(ズレの $2$ 乗の平均)— 意味が見える。忘れても再現できる
• 公式 $E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ — 手計算が速い
• 二項分布の $npq$ — 正体が分かっていれば最速

標準偏差 $\sigma =\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87$ の意味。

だいたい平均から $0.87$ くらいズレる、ということ。表の枚数は $1.5$ 枚を中心に、$\pm 0.87$ 枚ほど揺れる。

分散($0.75$)は $2$ 乗した世界の数なので、そのままでは大きさの実感がわかない。 ​ をとって元の単位に戻したものが標準偏差である。だから散らばりを語るときは、標準偏差を使う。