二項分布の正規近似で確率を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $X\sim B(100,\frac{1}{2})$ で $P(X\ge 60)$ を二項の和で計算するのは大変。$n$ が大きいので、正規分布で近似する。

まず平均と分散。$E(X)=np=50$、$V(X)=npq=25$、標準偏差 $\sigma =5$。この $B(100,\frac{1}{2})$ を $N(50,5^2)$ で近似する。

境目 $X=60$ を標準化すると $Z=\frac{60-50}{5}=2$。求めるのは右すその面積 $P(Z\ge 2)$ で、正規分布表の値から出る。

① 平均・分散。 $X\sim B(100,\frac{1}{2})$ より $$E(X)=100\cdot \frac{1}{2}=50,V(X)=100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=25,\sigma =5.$$ ② 標準化。 $N(50,5^2)$ で近似。$X=60$ を標準化すると $$Z=\frac{60-50}{5}=2.$$ ③ 確率。 $$P(X\ge 60)\approx P(Z\ge 2)=0.5-P(0\le Z\le 2)=0.5-0.4772=\mathrm{0.0228.}$$

まとめ $E(X)=50,\sigma =5$、標準化 $Z=2$、$P(X\ge 60)\approx 0.5-0.4772=0.0228$。二項分布(正規近似)と標準化の融合。

発展 — 一歩先へ。 二項分布が正規分布で近似できる(ド・モアブル–ラプラスの定理)のは、中心極限定理の最初の例だ。$n$ 個の独立な $0/1$ を足すと、$p$ が何であれ和の分布は釣鐘型に近づく。世論調査や品質管理で正規分布が主役なのは、「たくさん足すと正規分布」というこの普遍性のおかげである。

別解

別解 — 連続性の補正でより精密に(得意な人向けの高い視点)。 二項分布は $0,1,2,\dots$ ととびとびの値をとるのに、連続な正規分布で近似している。この「とびとび→なめらか」のずれを直す工夫が連続性の補正だ。

整数 $X\ge 60$ は、連続な世界では「$59.5$ 以上」に対応させるとよい($59.5$ から $60$ の側の“半マス”を含める)。標準化すると

$$Z=\frac{59.5-50}{5}=\mathrm{1.9.}$$

補正なしの $Z=2$($P=0.0228$)より、補正ありの $Z=1.9$ の方が、実際の二項確率 $P(X\ge 60)\approx 0.0284$ に近い。

高校の範囲では補正なしの $Z=2$、$P(X\ge 60)\approx 0.0228$ で十分だ。だが「なぜ近似がわずかにずれるのか」を知っておくと、正規近似の精度を自分で見積もれるようになる。