二項分布の平均・分散

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「同じ試行を $180$ 回、各回あたり確率 $\frac{1}{6}$、回数を数える」— この設定を見た瞬間、$X$ は二項分布 $B\left(180,\frac{1}{6}\right)$ だと型を当てる。

二項分布なら、平均・分散は公式一発だ。

$$E(X)=np,V(X)=npq(q=1-p)$$

代入して $E=30$、$V=25$、$\sigma =\sqrt{25}=5$。「設定から分布の型を特定 → 型の公式を使う」のが統計の問題の基本動作である。

$X\sim B\left(180,\frac{1}{6}\right)$。$p=\frac{1}{6}$、$q=\frac{5}{6}$。

① 期待値。

$$E(X)=np=180\times \frac{1}{6}=30$$

② 分散。

$$V(X)=npq=180\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=180\times \frac{5}{36}=25$$

③ 標準偏差。

$$\sigma (X)=\sqrt{25}=5$$

まとめ:反復試行の回数は二項分布。$E=np$、$V=npq$、$\sigma =\sqrt{npq}$ の $3$ 点セットを一気に出せる。定義から計算する必要はない。

発展 — 一歩先へ。 $\sigma =5$ の使い道を一言。$180$ 回投げて $1$ の目は「$30\pm 5$ 回くらい」— $2\sigma$ の幅なら $20$〜$40$ 回にほぼ収まる($95\%$ 前後)。もし $60$ 回も出たら平均から $6\sigma$、それはサイコロを疑う場面だ。平均と標準偏差のペアは「ふつうの範囲」の物差しになる。

別解の「$0$–$1$ 変数に分解して足す」は、期待値の線形性の威力の見本。分解した $X_i$ が独立でなくても $E(X)=np$ の側は成り立つ(分散の加法だけが独立を要求する)— この区別は、後の応用で効いてくる。

別解

公式 $E=np$、$V=npq$ がどこから来るのか — $180$ 回を「$1$ 回分 $\times 180$」に分解すると見える。

$i$ 回目に $1$ の目が出たら $1$、出なかったら $0$ をとる変数を $X_i$ とすると、総回数は

$$X=X_1+X_2+\cdots +X_{180}$$

$1$ 回分の平均と分散は小さな計算で出る。$E(X_i)=1\cdot \frac{1}{6}+0\cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{6}$。また $X_i^2=X_i$($0$ と $1$ は $2$ 乗しても不変)だから

$$V(X_i)=E(X_i^2)-\{E(X_i){\}}^2=\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=pq$$

各回は独立なので、平均も分散もそのまま足せる。

$$E(X)=180\cdot \frac{1}{6}=30,V(X)=180\cdot \frac{5}{36}=25$$

$np$ と $npq$ は「$1$ 回分 $p,pq$ の $n$ 人分」だった。公式を忘れても、この分解からいつでも復元できる。