二項分布の最も確率の高い値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 どの $k$ で $P(X=k)$ が最大か。1つずつ計算するより、隣どうしの比を見るのが速い。

$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}$ を作ると、二項係数と $p,q$ が約分され、$\frac{(n-k+1)p}{kq}$ という簡単な式になる。

この比が $1$ より大きい間は確率が増え、$1$ を下回ると減る。比が $1$ をまたぐ $k$ が、確率の山の頂上=最頻値だ。

① 確率の比。 $n=10,p=\frac{1}{3},q=\frac{2}{3}$ より $$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{n-k+1}{k}\cdot \frac{p}{q}=\frac{11-k}{k}\cdot \frac{1}{2}=\frac{11-k}{2k}.$$ ② 増減の判定。 この比が $1$ より大 $⟺11-k>2k⟺k<\frac{11}{3}=3.67$。

• $k\le 3$:比 $>1$ なので $P(X=k)>P(X=k-1)$(増加)。
• $k\ge 4$:比 $<1$ なので減少。

③ 最頻値。 増加から減少に変わる直前、$k=3$ で最大。 $$k=3.$$

まとめ 確率の比 $\frac{11-k}{2k}$ が $1$ をまたぐのが $k=3.67$、直前の $k=3$ で $P(X=k)$ 最大。二項分布(最頻値)と確率の比の融合。全部計算せず比で判定。

発展 — 一歩先へ。 $(n+1)p$ がちょうど整数のときは、最頻値が2つ並ぶ(隣り合う $k$ が同じ確率)。たとえば $B(9,\frac{1}{2})$ では $(n+1)p=5$ が整数で、$k=4$ と $k=5$ が同率で最頻。連続な正規分布なら頂上は1点だが、とびとびの二項分布では「頂上が平ら」になることがある — 離散ならではの現象だ。

別解

別解 — 公式 $\lfloor (n+1)p\rfloor$ で当てる(得意な人向けの時短ルート)。 二項分布の最頻値には、隣接比の議論をまとめた公式がある。比 $\frac{P(k)}{P(k-1)}=\frac{(n-k+1)p}{kq}\ge 1$ を解くと $k\le (n+1)p$。だから確率は $k=\lfloor (n+1)p\rfloor$ まで増えて、そこが山の頂上だ。

本問は $n=10$、$p=\frac{1}{3}$ で

$$(n+1)p=11\cdot \frac{1}{3}=\frac{11}{3}=3.67,\lfloor 3.67\rfloor =3.$$

最頻値は $k=3$。平均 $E(X)=np=\frac{10}{3}\approx 3.33$ のすぐ近くにあり、直感とも合う。

隣接比を毎回書く(本解)代わりに $\lfloor (n+1)p\rfloor$ を1回計算するだけ。ただし $(n+1)p$ がちょうど整数のときは、その値と1つ手前が同率で並ぶ(頂上が2つ)ことに注意する。