期待値の加法性

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ — 期待値は、そのまま足せる。

しかも、条件がひとつもない。

$X$ と $Y$ が独立でなくてもよい。 互いにどんなに絡み合っていても、平均は足せる。

これは、驚くべき強さだ。

分散はこうはいかない。

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)(\text{独立のときだけ})$$

分散を足すには、独立という条件が要る。

なぜ差が出るのか。 期待値は「$1$ 次の量」だから、和と交換できる。分散は「$2$ 乗の量」なので、$X$ と $Y$ の絡み合い(共分散)が効いてくるからだ。

「平均は無条件で足せる。散らばりは独立でないと足せない。」

この対比を、まず頭に入れよう。 計算自体は、公式に入れるだけである。

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+3=5$$

まとめ:期待値は「和の期待値 = 期待値の和」がいつでも成り立つ(独立の条件は不要)。これは分散とちがう点。分散の加法性 $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ は独立のときだけ成り立つ。

発展 — 一歩先へ。 独立でないとき、分散の加法性はどう壊れるのか。正しい式を書いてみよう。

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$

最後の項が、共分散である。

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)\right]$$

「$X$ が平均より大きいとき、$Y$ も大きくなりがちか」を測る量だ。

• 一緒に大きくなる($X$ が上なら $Y$ も上)→ 共分散は正 → 分散は加法性より大きくなる
• 逆に動く($X$ が上なら $Y$ は下)→ 共分散は負 → 分散は小さくなる
• 無関係(独立) → 共分散は $0$ → ちょうど足し算になる

独立なら共分散が消える。 だから $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ が成り立っていたのだ。

この式が、資産運用の基本原理になっている。

分散投資。

$2$ つの株に半分ずつ投資する。 リターンを $X$、$Y$、リスク(標準偏差)をそれぞれ $\sigma$ とする。

$2$ つが同じ動きをする株(共分散が正で大きい)なら、リスクはほとんど減らない。片方が下がるとき、もう片方も下がるからだ。

逆に、逆向きに動く株(共分散が負)を組み合わせると、リスクは大きく減る。片方の損を、もう片方の益が埋める。

完全に独立な株なら、リスクは

$$\sigma \left(\frac{X+Y}{2}\right)=\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\approx 0.71\sigma$$

$29\%$ 減る。 $n$ 個に分散すれば $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ — 標本平均とまったく同じ式だ。

「卵を $1$ つのカゴに盛るな」という格言は、この式の言い換えである。

そして、$2008$ 年の金融危機は、この式の裏切りだった。

平時には独立に見えた資産が、危機のときには一斉に下落した。 共分散が突然、大きな正の値に化けたのだ。

「独立だと思っていたものが、独立ではなかった」

分散を足す前に、独立性を確かめよ — この教訓は、教室の中だけの話ではない。

別解

「独立でなくても足せる」を、極端な例で実感する。

いちばん独立から遠い状況を作ってみよう。

$Y=X$ にする。 $Y$ は $X$ のコピーだ。これ以上ないほど、べったり従属している。

具体的に、$X$ が $1,2,3$ を $\frac{1}{3}$ ずつとるとする。

$$E(X)=\frac{1+2+3}{3}=2$$

このとき $X+Y=X+X=2X$ である。

期待値の加法性が正しいなら

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+2=4$$

直接確かめる。 $2X$ は $2,4,6$ を $\frac{1}{3}$ ずつとるから

$$E(2X)=\frac{2+4+6}{3}=4✓$$

べったり従属でも、期待値はちゃんと足せた。

では、分散はどうか。

まず $V(X)$ を計算する。 平均 $2$ からのズレは $-1,0,1$。

$$V(X)=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}$$

「独立なら足せる」の式をそのまま使うと

$$V(X)+V(Y)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$

本当か。直接計算しよう。 $2X$ は $2,4,6$ をとり、平均 $4$。ズレは $-2,0,2$。

$$V(2X)=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}$$

$$\frac{8}{3}\ne \frac{4}{3}$$

合わない! 実際は $2$ 倍もズレている。

当然だ。 $V(2X)=2^{2}V(X)=4\times \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ が正しい。

$Y=X$ は独立ではないので、分散の加法性は使えなかった。

独立なら、ちゃんと成り立つことも確かめよう。

サイコロ $2$ 個($X$、$Y$ は独立)。 $1$ 個の分散は $\frac{35}{12}$。

$$V(X+Y)\stackrel{?}{=}\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}$$

$36$ 通りすべての和($2$ 〜 $12$)から直接計算すると、ぴったり $\frac{35}{6}$ になる ✓

まとめると。

$$\boxed{E(X+Y)=E(X)+E(Y)\text{— いつでも成立}}$$

$$\boxed{V(X+Y)=V(X)+V(Y)\text{— 独立のときだけ}}$$

この $2$ つの違いが、統計の議論では決定的に効いてくる。

「平均は自由に足せる。散らばりは、独立を確かめてから足す。」

うっかり分散を足す前に、必ず「これは独立か?」と自問する習慣をつけたい。