数学B / 統計的な推測

確率変数の期待値

★ 基礎期待値

問題

確率変数 $X$ が次の分布に従う。 $X$ の期待値 $E (X)$ を求めよ。

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

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期待値は『値 × その確率』を全部足したもの。表の各列で積を作って合計しよう。

解答・解説

方針

期待値は「値 × その確率」をすべて足したもの。 $E (X) = \sum x \cdot P$ 。各 $X$ の値に対応する確率をかけて合計する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 期待値とは、平均すると、だいたいどのあたりに落ち着くかを表す $1$ つの数だ。

単純な平均ではない。 出やすい値は重く、出にくい値は軽く数える。

だから「値 $\times$ 確率」を足し上げる。

$E (X) = (値) \times (その確率) の総和$

イメージは、シーソーの釣り合う点だ。 数直線の $0, 1, 2, 3$ の位置に、それぞれ確率の重さ( $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}$ )のおもりを乗せる。ちょうど釣り合う支点が、期待値である。

この分布は左右対称( $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}$ )。だから支点は真ん中に来そうだ、と見当がつく。

計算する前に「だいたいここ」と予想しておく。 検算になる。

公式期待値

E (X) = k \sum x_{k} P (X = x_{k})

(値 × 確率の合計)

各値に確率をかけて足す。

$E (X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

X の確率分布。期待値 E(X)=Σ(値×確率)=3/2(平均の位置)

まとめ:期待値は「平均的にどのくらいの値になるか」。各値にその起こりやすさ(確率)で重みをつけて足す。分母をそろえて分子を足すと計算しやすい。

発展 — 一歩先へ。 期待値 $\frac{3}{2}$ は、 $X$ が決してとらない値である。表の枚数が $1.5$ 枚になることはない。

それでも、この $1.5$ には意味がある。

期待値は「重心」だ。

数直線の $0, 1, 2, 3$ の位置に、 $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}$ の重さのおもりを置く。棒を支えて釣り合う点が $1.5$ 。

釣り合いの条件を式で書くと

$\sum (x_{k} - E (X)) \cdot P (X = x_{k}) = 0$

「期待値からのズレ $\times$ 重み」の総和が $0$ 。 これが重心の定義そのものだ。物理の重心と、確率の期待値は、まったく同じ計算をしている。

そして期待値は、現実の意思決定を支えている。

宝くじの期待値。

$1$ 枚 $300$ 円の宝くじの期待値は、およそ $140$ 円といわれる(還元率 $47%$ 前後)。

$E (もらえる金額) \approx 140 円 < 300 円$

$1$ 枚買うごとに、平均 $160$ 円損する。 これは運の問題ではなく、設計上そうなっている。

保険は、その逆だ。

保険料の期待値も、支払われる保険金の期待値より高い(でなければ保険会社は潰れる)。にもかかわらず、人は保険に入る。

なぜか。 期待値は「平均」しか語らないからだ。「 $1$ 億円の損失が $1%$ の確率」と「 $100$ 万円の確実な損失」は期待値が同じだが、前者は人生が終わる。

期待値がすべてではない。 だからこそ、次に学ぶ分散(散らばりの大きさ)が要る。

平均と、散らばり。 この $2$ つを両手に持って、初めて確率変数を語れる。

答

$E (X) = \frac{3}{2}$

別解

この分布の"正体"を見抜けば、計算せずに答えが出る。

確率を並べてみよう。

$\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}$

分子は $1, 3, 3, 1$ — パスカルの三角形の $1$ 行だ。 分母は $8 = 2^{3}$ 。

思い出してほしい。 硬貨を $3$ 枚投げたとき、表の枚数 $X$ の確率は

$P (X = k) = (k 3) (\frac{1}{2})^{3} = \frac{( k 3 )}{8}$

$P (X = 0) = \frac{1}{8}, P (X = 1) = \frac{3}{8}, P (X = 2) = \frac{3}{8}, P (X = 3) = \frac{1}{8}$

この問題の分布と、完全に一致する。

つまり $X$ は、二項分布 $B (3, \frac{1}{2})$ にほかならない。

二項分布なら、期待値は公式一発だ。

$E (X) = n p = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

本解と同じ答え ✓

さらに素朴な見方もできる。

硬貨 $3$ 枚のうち、表は平均して何枚か。 $1$ 枚あたり表が出る確率は $\frac{1}{2}$ 。 $3$ 枚あるから

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$1$ 枚ずつの期待値を足すだけ。 計算らしい計算はしていない。

そして、対称性からも読める。

この分布は $1.5$ を軸に、左右対称だ。

$P (X = 0) = P (X = 3), P (X = 1) = P (X = 2)$

対称な分布の期待値は、対称の中心に来る。

$E (X) = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$

計算ゼロで答えが出た。

分布表を見たら、まず「この形に見覚えはないか」と問う。 正体が分かれば、公式が使える。分布表は、ただの数字の羅列ではない。

ポイント

$E (X) = \sum x \cdot P$ (値 × 確率の合計)。
確率の合計は $1$ (検算に使える)。

よくある間違い

確率で重みづけせず、値の単純平均 $(0 + 1 + 2 + 3) \div 4 = 1.5$ で答えを出す。たまたま値は合うが、対称でない分布では必ず外れる
確率の総和が $1$ になっているかを確かめない。分布表が与えられたら、まず $\sum P = 1$ を検算する
$X = 0$ の項は「 $0 \times \frac{1}{8} = 0$ 」だからと、確率 $\frac{1}{8}$ を総和から除いてしまう。値が $0$ でも、確率は分布の一部として残る