数学B / 統計的な推測

正規分布の確率(区間)

★★ 標準正規分布標準化

問題

確率変数 $X$ が正規分布 $N (60, 1 0^{2})$ に従うとき、 $P (50 ≦ X ≦ 75)$ を求めよ。ただし $P (0 ≦ Z ≦ 1) = 0.3413$ 、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.5) = 0.4332$ とする。

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両端を標準化すると、 $Z$ の範囲が $0$ をまたぐ形になる。 $0$ をまたぐ確率は左右 $2$ つに割って足す — 負の側は対称性で正の側に読み替える。

解答・解説

方針

両端を標準化して $Z$ の範囲に直す。範囲が中央 $0$ をまたぐので、 $P (- 1 ≦ Z ≦ 0)$ と $P (0 ≦ Z ≦ 1.5)$ に分けて足す。左半分は対称性で $P (0 ≦ Z ≦ 1)$ と等しい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正規分布の確率は、必ず標準化してから表を引く。 $Z = \frac{X - 60}{10}$ で物差しを取り替えると

$50 ≦ X ≦ 75 ⟺ - 1 ≦ Z ≦ 1.5$

表にあるのは「 $0$ から右側」の面積だけ。範囲が中央 $0$ をまたぐので、左右に割る。

左の $- 1 ≦ Z ≦ 0$ は、釣鐘の左右対称性から $0 ≦ Z ≦ 1$ と同じ面積。右の $0 ≦ Z ≦ 1.5$ はそのまま表の値。 $2$ つを足せば答えだ。「またぐなら割る、左は対称で右に映す」— 区間確率の定跡である。

重要範囲が中央

0

をまたぐときは、

0

で分けて足す。左側は対称性で

P (0 ≦ Z ≦ ∣ z ∣)

に直す

① 両端を標準化する。 $Z = \frac{X - 60}{10}$ 。

$X = 50 \Rightarrow Z = - 1, X = 75 \Rightarrow Z = 1.5$

② $0$ で分ける。 求めるのは $P (- 1 ≦ Z ≦ 1.5)$ 。中央 $0$ で左右に分ける。

$P (- 1 ≦ Z ≦ 1.5) = P (- 1 ≦ Z ≦ 0) + P (0 ≦ Z ≦ 1.5)$

③ 左側を対称性で直す。 標準正規分布は左右対称なので $P (- 1 ≦ Z ≦ 0) = P (0 ≦ Z ≦ 1) = 0.3413$ 。

$= 0.3413 + 0.4332 = 0.7745$

N(60,10^2)を標準化。-1≦Z≦1.5 の面積 0.3413+0.4332=0.7745

まとめ:範囲が中央をまたぐと、表(片側のみ)そのままでは引けない。 $0$ で分け、負の側は左右対称性で正の側に読みかえてから足す。これが正規分布の確率計算の要だ。

発展 — 一歩先へ。 どんな正規分布でも標準化 $1$ つで同じ表が使える理由は、 $1$ 次変換の公式( $E (a X + b) = a E + b$ 、 $V (a X + b) = a^{2} V$ )にある。 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ は $E (Z) = 0$ 、 $V (Z) = 1$ を作る特別な $1$ 次変換で、正規分布は $1$ 次変換で正規分布のまま — この $2$ つが揃って「表は $1$ 枚で足りる」が成立する。

$68%$ ( $\pm 1 σ$ )・ $95%$ ( $\pm 2 σ$ )・ $99.7%$ ( $\pm 3 σ$ )の三点セットは、テストの偏差値(偏差値 $60$ は $+ 1 σ$ — 上位 $16%$ 前後)や品質管理( $3 σ$ 管理)など、実務の共通言語になっている。

答

$0.7745$

別解

標準化を「式の操作」でなく「目盛りの貼り替え」として見ると、迷いが減る。

もとの数直線の $60$ の位置に $0$ 、 $70$ に $1$ 、 $50$ に $- 1$ 、 $75$ に $1.5$ — 「平均から標準偏差何個分か」という新しい目盛りを貼る。これが $Z$ だ。

$X : 50607075 ⟶ Z : - 101 1.5$

$X = 50$ は「平均より $σ$ ひとつ左」、 $X = 75$ は「 $σ$ 1.5 個分右」。問題は「 $- 1 σ$ から $+ 1.5 σ$ までの面積は?」と読み替えられた。

この目盛りで有名な数値を覚えておくと検算になる。 $\pm 1 σ$ の内側は約 $68%$ 、 $\pm 2 σ$ で約 $95%$ 。今回の答え $0.7745$ は「 $\pm 1 σ$ ( $68%$ )より右に半個分広い区間」— $68%$ より少し大きい値として妥当だと、表を引く前から見積もれる。

正規分布の問題はすべて「 $σ$ 何個分か」の言葉に翻訳される。 $X$ のまま考えず、まず目盛りを貼り替える癖をつけよう。

ポイント

中央 $0$ をまたぐ範囲は $0$ で分けて足す。
負の側は対称性で $P (0 ≦ Z ≦ ∣ z ∣)$ に。

よくある間違い

標準化で $σ = 10$ でなく分散 $100$ で割る( $N (60, 1 0^{2})$ の $1 0^{2}$ は分散の表記)
$0$ をまたぐ区間なのに $0.4332 - 0.3413$ と引いてしまう(またぐときは足す)
表の値 $P (0 ≦ Z ≦ 1)$ を $P (Z ≦ 1)$ と混同する(表は $0$ からの面積)