二項分布の確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「毎回もとに戻す」— 各回が独立で当たる確率が常に $\frac{1}{3}$。当たり回数 $X$ は二項分布 $B\left(5,\frac{1}{3}\right)$ だ。

「ちょうど $2$ 回」の確率は、$2$ つの部品の積で組み立てる。

$1$ つの並び方(例: 当当外外外)の確率が ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3$。当たり $2$ 回の位置の選び方が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 通り。掛けて

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3$$

「$1$ 本の道の確率 $\times$ 道の本数」— 二項分布の式の中身はこれだけである。

$X\sim B\left(5,\frac{1}{3}\right)$。$k=2$ を代入する。当たり $2$ 回、はずれ $3$ 回。

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\frac{1}{3}{)}^2\right(\frac{2}{3}{)}^3=10\times \frac{1}{9}\times \frac{8}{27}=\frac{80}{243}$$

まとめ:$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$(どの $2$ 回で当たるか)、${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$(当たり $2$ 回)、${\left(\frac{2}{3}\right)}^3$(はずれ $3$ 回)。指数の合計 $2+3=5$ が試行回数と合うか確認するとミスが減る。

発展 — 一歩先へ。 $P(0)$ から $P(5)$ まで全部足すと $1$ になる(二項定理 ${\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)}^5=1$ の展開そのもの)。「二項分布」という名前は、この二項定理との対応から来ている。

期待値は $np=\frac{5}{3}\approx 1.7$ 回。最頻値($1$ 回と $2$ 回)が期待値を挟んでいるのも、分布の山が期待値のあたりに立つという一般的な性質の現れだ。回数が増えて $n=500$ ともなれば、この山はなめらかな釣鐘 — 正規分布 — に近づいていく(この単元の後半で正規近似として学ぶ)。

別解

「ちょうど $2$ 回」だけでなく、分布の全体を並べて眺めると、この答えの立ち位置が見える。

$$P(0)=\frac{32}{243},P(1)=\frac{80}{243},P(2)=\frac{80}{243},P(3)=\frac{40}{243},\dots$$

気づくだろうか — $P(1)$ と $P(2)$ が同じ $\frac{80}{243}$ で、そろって最頻値になっている。

偶然ではない。となり合う確率の比をとると

$$\frac{P(2)}{P(1)}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)}\cdot \frac{1/3}{2/3}=\frac{10}{5}\cdot \frac{1}{2}=1$$

ちょうど $1$ — つまり $1$ 回と $2$ 回の間で確率の増減が入れ替わる境目に、この問題は立っている(目安の値 $(n+1)p=6\cdot \frac{1}{3}=2$ がぴったり整数になるときの現象だ)。

「隣との比 $\frac{P(k+1)}{P(k)}$ で分布の山を探す」— 二項分布の最大確率を問う応用問題で主役になる見方を、ここで先取りしておこう。