正規分布の確率(標準化して表)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正規分布の確率計算は、いつも同じ $3$ ステップだ。

① 標準化する。 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ で、$X$ の範囲を $Z$ の範囲に翻訳する。

② 図で確認する。 求める面積が、釣鐘のどこにあたるか。

③ 表を引く。

この問題では、範囲の両端を標準化する。

$$X=50\to Z=\frac{50-50}{10}=0$$ $$X=60\to Z=\frac{60-50}{10}=1$$

$50\leqq X\leqq 60$ は、$0\leqq Z\leqq 1$ に翻訳された。

あとは表を引くだけ。 表が返すのは、まさに「$0$ から $1$ までの面積」だ。

「$X$ の世界」から「$Z$ の世界」へ移し、表を引き、確率を持ち帰る。 この往復が、正規分布計算の基本形である。

① 両端を標準化する。 $Z=\frac{X-50}{10}$。

$$X=50\Rightarrow Z=0,X=60\Rightarrow Z=1$$

② $Z$ の範囲で表を引く。

$$P(50\leqq X\leqq 60)=P(0\leqq Z\leqq 1)=0.3413$$

まとめ:一般の正規分布の確率は「標準化 → 表」の $2$ 段。$X$ の範囲の両端を $Z$ に直せば、あとは標準正規分布表を読むだけ。範囲がそのまま $0$ から始まる形になり、表の値そのものになった。

発展 — 一歩先へ。 なぜ、$0$ から $1$ までの面積を「表」で与えるのか。自分で積分すればよいのでは?

それができないのだ。

標準正規分布の式は、こうだ。

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$$

この関数の原始関数(積分した形)は、初等関数では書けない。

「まだ見つかっていない」のではない。「存在しないことが証明されている」($1835$ 年、リウヴィルによる)。

$x^n$、$\sin x$、$e^x$、$\log x$ — こうしたおなじみの関数を、どう組み合わせても $e^{-z^2/2}$ の積分は書けない。

だから、数値計算した表を作るしかない。

手計算では絶望的だが、面白い事実もある。

「$-\infty$ から $\infty$ まで」の全積分なら、きれいに求まるのだ。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

ガウス積分と呼ばれる、有名な式である。

途中は計算できないのに、全体だけは $\sqrt{\pi }$ できっちり出る。

なぜか。 $2$ つ掛けて $2$ 次元の積分にし、極座標に変換すると、突然計算できるようになる($1$ 次元では不可能、$2$ 次元では可能 — これも数学の不思議のひとつだ)。

この $\sqrt{\pi }$ があるからこそ、正規分布の式に $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ という係数が付いている。

全体の面積を $1$(確率の総和)にするための、正規化の係数である。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}dz=1✓$$

釣鐘曲線の式に $\pi$ が現れる理由は、ここにある。円周率が、確率の式に顔を出す。

円とも三角形とも無縁に見える正規分布の中に、$\pi$ が住んでいる。 数学のあちこちで $\pi$ と $e$ が出会うのは、偶然ではない — そう思わせる、美しい事実である。

別解

標準化する前に、「$\sigma$ 何個分か」で読む。

問題の範囲を、よく見てほしい。

$$50\leqq X\leqq 60$$

$50$ は平均 $\mu$ そのもの。 そして $60$ は

$$60=50+10=\mu +\sigma$$

平均から、標準偏差ちょうど $1$ 個分だけ上。

つまりこの範囲は、$\mu$ から $\mu +\sigma$ までである。

ここで、正規分布の重要な性質を使う。

$$\boxed{\mu \text{ から }\mu +\sigma \text{ までの面積は、}\mu \text{ や }\sigma \text{ の値によらず、いつも }0.3413}$$

だから、計算せずに答えが分かる。

$$P(50\leqq X\leqq 60)=0.3413$$

なぜ、分布によらず同じなのか。

正規分布は、$\sigma$ を"ものさし"にすると、すべて同じ形になるからだ。

$$N(50,10^2)\text{の }\mu \sim \mu +\sigma$$ $$N(170,6^2)\text{の }170\sim 176$$ $$N(0,1)\text{の }0\sim 1$$

どれも面積は $0.3413$。

身長の分布でも、テストの点でも、工場の部品の寸法でも — 「平均から $1\sigma$ 上まで」の割合は、必ず $34.13\%$ である。

これが「正規分布はひとつしかない」ということの意味だ。

世の中に正規分布は無数にあるように見える。だが、$\sigma$ という自分のものさしで測れば、すべて同じ $1$ つの分布に重なる。

だから、表は $1$ 枚で足りる。

この見方の実用性。

「平均 $50$ 点、$\sigma =10$ 点のテストで、$50$ 点から $60$ 点の人は何%か」

標準化の計算をしなくても、「$\mu$ から $1\sigma$ だから $34\%$」と即答できる。

さらに、$68$–$95$–$99.7$ ルールと組み合わせると。

• $40$ 点 〜 $60$ 点($\mu \pm 1\sigma$)→ 約 $68\%$
• $30$ 点 〜 $70$ 点($\mu \pm 2\sigma$)→ 約 $95\%$
• $70$ 点以上($\mu +2\sigma$ 以上)→ 約 $2.3\%$

表を引かずに、分布の全体像が読める。

標準化は「計算の手続き」だが、その本質は「$\sigma$ をものさしにして世界を見る」ことなのだ。