数学B / 統計的な推測

二項分布の期待値・分散からn,pを求める

★★★★ 難関二項分布逆問題

問題

確率変数 $X$ が二項分布 $B (n, p)$ に従い、 $E (X) = 6$ 、 $V (X) = 4.8$ である。 $n$ と $p$ の値を求めよ。

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二項分布の期待値 $n p$ と分散 $n p (1 - p)$ 。この $2$ つの比をとると $1 - p$ が出る。 $p$ が分かれば $n p = 6$ から $n$ 。

解答・解説

二項分布では $E (X) = n p$ 、 $V (X) = n p (1 - p)$ 。 $\frac{V ( X )}{E ( X )} = 1 - p$ から $p$ が出て、 $E (X) = n p$ から $n$ が決まる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 二項分布 $B (n, p)$ では期待値が $n p$ 、分散が $n p (1 - p)$ 。

未知は $n, p$ の $2$ つ、与えられた条件も $2$ つ( $E = 6$ 、 $V = 4.8$ )。数はそろっている。

ここで無理に連立するより、分散を期待値で割るのがうまい。 $\frac{n p ( 1 - p )}{n p} = 1 - p$ となって、 $p$ が単独で出る。

$p$ が分かれば $n p = 6$ から $n$ が決まる。比をとって未知を $1$ つずつ剥がすのがコツ。

公式二項分布

B (n, p)

E (X) = n p

、

V (X) = n p (1 - p)

① 比をとって $p$ 。

$\frac{V ( X )}{E ( X )} = \frac{n p ( 1 - p )}{n p} = 1 - p = \frac{4.8}{6} = 0.8$

よって $p = 1 - 0.8 = 0.2$ 。

② $n$ を求める。 $E (X) = n p = 6$ 、 $p = 0.2$ より

$n = \frac{6}{0.2} = 30$

よって $n = 30$ 、 $p = 0.2$ 。

(検算: $n p = 30 \cdot 0.2 = 6$ 、 $n p (1 - p) = 30 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 4.8$ 。)

まとめ:二項分布の逆問題は「 $E = n p$ 、 $V = n p (1 - p)$ の比 $\frac{V}{E} = 1 - p$ 」で $p$ を先に出す。あとは $n p = E$ から $n$ 。 $2$ つの式の比をとると片方の未知が消える、という定石。

発展 — 一歩先へ。 比 $\frac{V}{E} = 1 - p$ は必ず $1$ より小さい。だから二項分布ではいつも分散が期待値より小さい( $V < E$ )。

これは二項分布の指紋のようなもの。たとえばポアソン分布では $V = E$ 、負の二項分布では $V > E$ になる。分散と期待値の比を見るだけで、どんな型の分布かをある程度見分けられる。

現実のデータで「ばらつきが期待値より大きい(過分散)」なら、単純な二項では説明しきれない、という診断にも使える考え方だ。

答

$n = 30$ 、 $p = 0.2$

別解 — 差 $E - V$ から $p$ を出す(得意な人向けの視点)。 比のかわりに引き算でも $p$ が取り出せる。

$E - V = n p - n p (1 - p) = n p \cdot p = (n p) p = E p$ 。つまり $E - V = E p$ 。

数値を入れると $6 - 4.8 = 1.2 = 6 p$ だから $p = \frac{1.2}{6} = 0.2$ 。

あとは $n p = 6$ 、 $p = 0.2$ から $n = \frac{6}{0.2} = 30$ 。

比 $\frac{V}{E} = 1 - p$ で出す本解と同じ。 $E - V = E p$ という関係は、 $n p$ を共通因数にくくり出す発想で、 $2$ 式から $p$ を消さずに直接引き出せるのが小気味よい。