二項分布の期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず、状況を確認しよう。

• 毎回、同じ確率 $\frac{1}{5}$ で当たる(もとに戻すから、確率は変わらない)
• $100$ 回くり返す
• 知りたいのは、当たった回数

この $3$ 点がそろったら、二項分布だ。

$$X\sim B\left(100,\frac{1}{5}\right)$$

二項分布と見抜ければ、期待値は公式一発である。

$$E(X)=np$$

直感でも答えは見える。 $5$ 回に $1$ 回当たるくじを $100$ 回引くのだから、当たるのは $20$ 回くらいだろう。

その直感が、そのまま公式になっている。

$$100\times \frac{1}{5}=20$$

「反復試行 $+$ 成功回数」を見たら、二項分布。 この型の判定が第一歩だ。

毎回確率 $p=\frac{1}{5}$ で当たる試行を $n=100$ 回くり返すので、$X$ は二項分布 $B\left(100,\frac{1}{5}\right)$。

$$E(X)=np=100\times \frac{1}{5}=20$$

まとめ:「$n$ 回の試行で当たりが出る回数」は二項分布。期待値は $np$ で一発。$100$ 回で確率 $\frac{1}{5}$ なら平均 $20$ 回、という自然な結果だ。

発展 — 一歩先へ。 $E(X)=np$ の証明を、真正面からやるとどうなるか。

定義に従えば、こう書ける。

$$E(X)=\sum _{k=0}^{100}k\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{k}\right){\left(\frac{1}{5}\right)}^k{\left(\frac{4}{5}\right)}^{100-k}$$

$101$ 項の和だ。 二項係数と累乗が入り混じった、見るからに面倒な式である。

これを計算すると、確かに $20$ になる。 だが、その計算は簡単ではない($k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$ という変形を使う)。

一方、別解の「$1$ 回ずつに分ける」方法なら、$3$ 行で終わった。

$$E(X)=\sum _{i=1}^{100}E(X_i)=100\times \frac{1}{5}=20$$

同じ答えなのに、労力が桁違いだ。

なぜ、これほど差がつくのか。

真正面の計算は、「$X$ の分布」を経由している。 「ちょうど $k$ 回当たる確率」をすべて求めてから、重みをつけて足す。

分ける方法は、分布をまったく使わない。 $X$ がどんな分布かを知らなくても、「$1$ 回あたりの期待値」さえ分かれば足せる。

これが期待値の線形性の威力である。

$$\boxed{E(X_1+\cdots +X_n)=E(X_1)+\cdots +E(X_n)}$$

独立でなくてもよい。分布を知らなくてもよい。ただ足せる。

この道具は、応用の場で繰り返し使われる。

• クーポン収集: 全 $n$ 種を集めるまでの回数の期待値
• 記録の回数: ランダムな列で「過去最高」が何回出るか
• ネットワーク: ランダムなグラフに三角形がいくつあるか

どれも「全体の分布」は複雑怪奇だが、「$1$ つずつに分けて期待値を足す」だけで答えが出る。

難しい問題を、簡単な問題の"和"に分解する。 数学の常套手段が、確率でも同じように効く。

別解

$np$ という公式が「なぜ成り立つか」を、$1$ 回ずつに分けて見る。

$1$ 回引くごとに、$1$ つの確率変数を用意する。

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& (\text{i 回目が当たり})\\ 0& (\text{i 回目がはずれ})\end{array}$$

この $X_i$ を、$1$ 回分の「当たり点」と思えばいい。 当たれば $1$ 点、はずれれば $0$ 点。

全部の当たり回数は、点数の合計だ。

$$X=X_1+X_2+\cdots +X_{100}$$

$1$ 回分の期待値を出す。

$$E(X_i)=1\times \frac{1}{5}+0\times \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$$

「$0$ か $1$ の確率変数の期待値は、$1$ になる確率そのもの」 — これは覚えておくと便利だ。

期待値の加法性で、足す。

$$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_{100})=\underset{100\text{ 個}}{\underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{5}}}=100\times \frac{1}{5}=20$$

これが $E(X)=np$ の正体だ。

$1$ 回あたりの期待値 $p$ を、$n$ 回分足しただけである。

この見方の恐ろしい強さ。

期待値の加法性 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ は、独立でなくても成り立つ。 だから、「独立でない」問題にもそのまま使える。

例: 帽子の問題。

$6$ 人がパーティーで帽子を預け、帰りにランダムに $1$ つずつ受け取る。自分の帽子を取り戻せる人数の期待値は?

取り方の総数は $6!=720$ 通り。 真正面から数えると大変だ($1$ 人も一致しない場合、$1$ 人だけ一致する場合 $\dots$)。

だが、$1$ 人ずつに分ければ一瞬である。

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& (\text{i 番目の人が自分の帽子を取る})\\ 0& (\text{そうでない})\end{array}$$

$$E(X_i)=\frac{1}{6}(\text{6 個のうち自分のを引く確率})$$

$$E(X)=6\times \frac{1}{6}=1$$

答えは $1$ 人。 しかも $6$ 人でも $100$ 人でも、答えは常に $1$ 人だ。

ここで $X_1,X_2,\dots$ は独立ではない($1$ 人目が自分の帽子を取ると、他の人の確率が変わる)。それでも、期待値は足せる。

「分けて、足す」 — 期待値の加法性は、確率の世界でいちばん使い勝手のいい道具である。