独立な確率変数の和(さいころ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 個のさいころの和 $S$ を、いきなり $36$ 通り数えにいかない。

まず $1$ 個の目 $X$ の期待値と分散を求める。部品を先に調べるのだ。

$2$ 個の目は独立だから、$S=X_1+X_2$ の期待値も分散も、部品の和になる。

「和の期待値・分散は、独立なら部品の和」。この分解の発想が主題だ。

① $1$ 個の目の期待値。

$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$

② $1$ 個の目の分散。 $E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}$$

③ $2$ 個の和にする。 $2$ 個は独立。

$$E(S)=2E(X)=2\cdot \frac{7}{2}=7$$

$$V(S)=2V(X)=2\cdot \frac{35}{12}=\frac{35}{6}$$

まとめ:さいころの和は「$1$ 個ぶんを求めて独立性で足す」。期待値は和、分散も和(独立だから)。$V(S)=2V(X)$ であって $2^{2}V(X)$ ではない($2X$ とは違う。$X_1+X_2$ は別々の変数の和)ことに注意。

発展 — 一歩先へ。 「独立なら分散も足せる」の裏には、共分散という量が隠れている。

一般には $V(X_1+X_2)=V(X_1)+V(X_2)+2\mathrm{Cov}(X_1,X_2)$ が成り立つ。$\mathrm{Cov}$ は $2$ つの変数が連動する度合いを測る。

$2$ 個のさいころは互いに影響しないので $\mathrm{Cov}=0$。だから余分な項が消え、分散がそのまま足せた。

もし片方の目がもう片方に影響するなら $\mathrm{Cov}\ne 0$ となり、和の散らばりは単純な足し算からずれる。独立という条件が効いているわけだ。

別解

別解 — 和の分布を直接作って計算する(苦手な人向けの直接ルート)。 独立性を使わず、$S$ の分布そのものからも $E,V$ が出せる。

$2$ 個の目の出方は全部で $36$ 通り。和 $S$ が $2,3,\dots ,12$ になる場合の数は、順に $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$(合計 $36$)。この左右対称な三角形の分布から計算する。

期待値は左右対称の中心だから $E(S)=7$。分散は「$2$ 乗の期待値 $-$ 期待値の $2$ 乗」で求める。

$$E(S^2)=\frac{1}{36}\sum _{k=2}^{12}{k}^2\cdot (\text{場合の数})=\frac{1974}{36}=\frac{329}{6}.$$

よって $V(S)=\frac{329}{6}-7^2=\frac{329-294}{6}=\frac{35}{6}$。

部品に分けて独立性で足す本解と同じ $E(S)=7$、$V(S)=\frac{35}{6}$。分布を直接使うと計算は増えるが、独立性の公式を思い出せなくても答えにたどり着ける。