母比率の信頼区間

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今度は平均でなく割合(母比率 $p$)の推定。標本比率は $\hat{p}=\frac{40}{100}=0.4$ だ。

型は母平均のときと同じ「$\hat{p}\pm 1.96\times (\text{ばらつきの単位})$」。比率のばらつきの単位は

$$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.24}{100}}=\frac{0.49}{10}=0.049$$

よって $0.4\pm 1.96\times 0.049=0.4\pm 0.096$。「推定値 $\pm 1.96\times$ 標準誤差」という骨格は、平均でも比率でも変わらない。

① 標本比率を出す。 $\hat{p}=\frac{40}{100}=0.4$。

② 標準誤差を出す。 $\hat{p}(1-\hat{p})=0.4\times 0.6=0.24$。

$$\sqrt{\frac{0.24}{100}}=\frac{\sqrt{0.24}}{10}=\frac{0.49}{10}=0.049$$

③ 信頼区間を計算する。 $1.96\times 0.049=0.096$。

$$0.4-0.096\leqq p\leqq 0.4+0.096$$

$$0.304\leqq p\leqq 0.496$$

まとめ:母比率の推定は「標本比率 $\pm 1.96\times$ 標準誤差」。標準誤差は $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。母平均のときの $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ に対応する量が、比率では $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ になる。

発展 — 一歩先へ。 母比率の区間が母平均と同じ型になる種明かし: 規格に合えば $1$、合わなければ $0$ の変数の平均が比率 $\hat{p}$ そのもの。$0$–$1$ 変数の分散が $p(1-p)$ だから、標本平均の公式 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ に $\sigma =\sqrt{p(1-p)}$ を入れただけ — 比率の推定は平均の推定の特別な場合である。

なお本当は $p$ が未知なので、分散に $\hat{p}$ を代用している(大きい $n$ では差が無視できる)。この代用や、別解の最悪評価 $\frac{1}{4}$ による標本数設計(「誤差 $\pm 5\%$ 以内に必要な $n$ は?」)は、応用問題の定番テーマだ。

別解

$\hat{p}(1-\hat{p})$ という積には便利な上限がある — どんな $\hat{p}$ でも $\frac{1}{4}$ 以下($\hat{p}=0.5$ のとき最大。和が一定の $2$ 数の積は等しいとき最大、の相加相乗と同じ理屈)。

これを使うと、$\hat{p}$ の値を知らなくても誤差の上限が言える。$n=100$ なら

$$1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{100}}\leqq 1.96\sqrt{\frac{0.25}{100}}=1.96\times 0.05=0.098$$

つまり「$100$ 人調べれば、比率の誤差はどんな場合でも $\pm 0.098$(約 $\pm 10$ ポイント)以内」。今回の $\pm 0.096$ が、この上限すれすれなのは $\hat{p}=0.4$ が $0.5$ に近いからだ。

この最悪評価は実務の常識値になっている。世論調査で「$n=1000$、誤差 $\pm 3$ ポイント」と言われるのは $1.96\sqrt{\frac{0.25}{1000}}\approx 0.031$ の計算そのもの。$4$ 倍の精度には $16$ 倍の標本が要る — $\sqrt{n}$ の壁はここにも立っている。